Zeitabhängige Störungsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}</noinclude>


'''(Dirac)'''
'''(Dirac)'''
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:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \left\langle  n\acute{\ } \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\
& \left\langle  n\acute{\ } | n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\


& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=1 \\
& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=1 \\
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Damit:
Damit:


:<math>\left\langle  n \right|\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>
:<math>\left\langle  n | {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>


Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen  von
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen  von
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:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\
& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m | n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\


& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle  m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\
& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle  m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\


& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left| n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\
& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m | n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\


\end{align}</math>
\end{align}</math>
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:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>
:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>


Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!


Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
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Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>:


<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>


( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)


Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>
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fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:


<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>
:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>


Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
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Dabei gilt:
Dabei gilt:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\
& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
:<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>


Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math>
Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math>


<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>


ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\
& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\
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:
:


<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
:<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>


'''Für k=1'''
'''Für k=1'''


<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>


Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math>
Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math>
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Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>
 
.
. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
 
,
, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
 
.
. Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>
Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>


:
:


<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>


Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
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Somit:
Somit:


<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>


also:
also:


<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>


und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math>
und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math>
Zeile 212: Zeile 212:
kann formal integriert werden:
kann formal integriert werden:


<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
:<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>


'''Übergangswahrscheinlichkeit'''
'''Übergangswahrscheinlichkeit'''
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vorliegt.
vorliegt.


<math>{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle  n \right|\left| n\acute{\ } \right\rangle  \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>
:<math>{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle  n | n\acute{\ } \right\rangle  \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>


'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:


<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
für n=n0
für n=n0
und
und
<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
:<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
für <math>n\ne {{n}_{0}}</math>
für <math>n\ne {{n}_{0}}</math>
:
:


== Zeitunabhängige Störung:  ==
== Zeitunabhängige Störung:  ==
<math>\hat{V}=const.</math>
:<math>\hat{V}=const.</math>
:
:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\
& {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\
& {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\
& {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\
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auf <math>\left| n \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
:
:
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):


<math>\begin{align}
[[Datei:Sign squared.png]]
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):
 
:<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& \begin{matrix}
& \begin{matrix}
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Also:
Also:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\
& {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\
& \begin{matrix}
& \begin{matrix}
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Grafisch
Grafisch
[[Datei:Sign squared.gif]]


<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
:<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>


Für <math>t\to \infty </math>
Für <math>t\to \infty </math>
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Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>
:<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>


'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>)
):
:
<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>


Mit dem Übergangsmatrixelement
Mit dem Übergangsmatrixelement
<math>\left\langle  n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
:<math>\left\langle  n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>


und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
( siehe obige Definitionen)  die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
(siehe obige Definitionen)  die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
ab, für  Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
ab, für  Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!


Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:
Dabei gilt:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\delta }_{t}}\to \delta  \\
& {{\delta }_{t}}\to \delta  \\
& f\ddot{u}r\quad t\to \infty  \\
& f\ddot{u}r\quad t\to \infty  \\
Zeile 310: Zeile 313:
==Harmonische zeitabhängige Störung==
==Harmonische zeitabhängige Störung==


<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
:<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
hermitesch !
hermitesch!


Es folgt:
Es folgt:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
& \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
Zeile 324: Zeile 327:
:
:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
Zeile 336: Zeile 339:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
Zeile 344: Zeile 347:
Weiter gilt
Weiter gilt


<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma  \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
:<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma  \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math>
Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math>
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math>
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math>
Zeile 351: Zeile 354:
Somit folgt für <math>t\to \infty </math>
Somit folgt für <math>t\to \infty </math>
:
:
<math>{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
:<math>{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>


Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 357: Zeile 360:
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:


<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>


Die Terme lassen sich identifizieren:
Die Terme lassen sich identifizieren:


<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf<math>\left| n \right\rangle </math>
auf<math>\left| n \right\rangle </math>,
, was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
entspricht.
entspricht.
Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 371: Zeile 374:
gehievt
gehievt


<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math>
auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>,
, was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
entspricht.
entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 383: Zeile 386:
==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==
==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==


Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)


Im Wechselwirkungsbild gilt:
Im Wechselwirkungsbild gilt:


<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>
:<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>


Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math>
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math>
Zeile 393: Zeile 396:
evolutionieren:
evolutionieren:


<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>


Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
Zeile 405: Zeile 408:
liefert eine Iteration:
liefert eine Iteration:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
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Mit
Mit
<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>


und
und
<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
:<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild


<u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild:
<u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{c}_{n}}(t)=\left\langle  n \right|\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle  n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle  n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{c}_{n}}(t)=\left\langle  n | \Psi  \right\rangle =\left\langle  n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle  n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\
& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\
Zeile 427: Zeile 430:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !
In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:46 Uhr




(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes |Ψt aus der Schrödingergleichung

H^|Ψt=it|Ψt

berechnet werden, wobei

H^=H^0+H^1(t)

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters ε linear entwickelt werden kann:

H^1(t)=εV^

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:

H^0|n=En|n (ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

n´|n=δn´nn|nn|=1

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von |Ψt nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand |n0:

|Ψt=0=|n0

Damit:

n|n0:=cn(0)=δnn0

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)

in die Schrödingergleichung:

H^|Ψt=it|Ψtncn(t)H^|n=inddtcn(t)|n=ncn(t)(H^0+H^1(t))|n=ncn(t)(En+H^1(t))|n

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

inddtcn(t)m|n=ncn(t)m|(H^0+H^1(t))|n=ncn(t)m|(En+H^1(t))|n=ncn(t)(m|En|n+m|H^1(t)|n)=ncn(t)Enδmn+ncn(t)m|H^1(t)|ninddtcn(t)m|n=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|n=iddtcm(t)

Hilfreich ist die Definition eines cn(t):=e(iEnt)gn(t) mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

e(iEnt)

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

iddtcm(t)=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|n

mit iddtcm(t)=cm(t)Em+e(iEmt)iddtgm(t)

Setzt man dies ein, so folgt:

cm(t)Em+e(iEmt)iddtgm(t)=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|niddtgm(t)=e(iEmt)ncn(t)m|H^1(t)|n

und wegen cn(t):=e(iEnt)gn(t) also:

iddtgm(t)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|ngn(t)

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines ε:

H^1(t)=εV^

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von m|H^1(t)|n

polynomial in ε

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

gn(t)=gn(0)(t)+εgn(1)(t)+ε2gn(2)(t)+...

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)
cn(t):=e(iEnt)gn(t)

Da aber die Differenzialgleichung für unsere gm(t)

iddtgm(t)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|ngn(t)

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

iddt(gm(0)(t)+εgm(1)(t)+ε2gm(2)(t)+...)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|n(gn(0)(t)+εgn(1)(t)+ε2gn(2)(t)+...)

und dies für beliebige ε

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung εk

durchgeführt werden und es folgt: k=0:

iddtgm(0)(t)=0gm(0)(t)=const=!=δmn0

Exakte Lösung für ε=0

cm(0)(t)=eiEmtδmn0

Für k=1

iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

Dabei wurde εk=ε1

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von ε

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von ε .

Rechts dagegen hat man eine Ordnung von ε

,

die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch H^1(t)=εV^

.

Also hat man formal in erster Ordnung von ε
iddtεgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|εV^|ngn(0)iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

Wir wissen: gm(0)(t)=const=!=δmn0

Somit:

iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

also:

iddtgm(1)(t)=e(i(EmEn0)t)m|V^|n0

und mit der Anfangsbedingung gn(1)(0)=0

kann formal integriert werden:

gm(1)(t)=1i0tdτe(i(EmEn0)τ)m|V^|n0

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand |n

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand |n0

vorliegt.

|n||Ψt|2=|n´cn´(t)n|n´|2=|cn(t)|2=|gn(t)|2

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

gn(t)=gn(o)=δnn0=1

für n=n0 und

gn(t)=εgn(1)

für nn0

Zeitunabhängige Störung:

V^=const.
gn(1)(t)=i0tdτe(i(EnEn0)τ)n|V^|n0=n|V^|n0e(i(EnEn0)t)1EnEn0|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|2{e(i(EnEn0)t)1EnEn0}{e(i(EnEn0)t)1EnEn0}:=|n|V^|n0|2{(e(iΩt)1)(e(iΩt)1)Ω22}Ω:=(EnEn0)|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|22(1cosΩt)Ω22=|n|V^|n0|24sin2Ω2tΩ224sin2Ω2tΩ22:=Dt(EnEn0)|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|2Dt(EnEn0)

Die GrößeΩ:=(EnEn0) heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von |n0 auf |n

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

Dt(0)=(t)2limt(Dt(0))=Dt(E)=dE4sin2(Et2)E2=2tdξsin2ξξ2dξsin2ξξ2=πDt(E)=2πt

Also:

Dt(E)=:2πtδt(E)limtDt(E)=2πtδ(E)

Grafisch Datei:Sign squared.gif

|n||Ψt|2=|gn(t)|2=2π|n|H^1|n0|2tδt(EnEn0)

Für t Energieerhaltung: EnEn0=0

Für t< hat Dt(E)=:2πtδt(E) die Breite ΔE4πt

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:

ΔEt4π

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von |n0 auf |n)

Wnn0=ddt|n||Ψt|2=2π|n|H^1|n0|2δt(EnEn0)

Mit dem Übergangsmatrixelement

n|H^1|n0

und einer quadratischen Sinc- Funktion, δt(EnEn0) (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie EnEn0 beschränkt, so lange deren Abweichung von EnEn0 noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um EnEn0 ab, für Quantenenergien, die von EnEn0 verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

δtδfu¨rt

Harmonische zeitabhängige Störung

H^1(t)=F^eiωt+F^+eiωt

hermitesch!

Es folgt:

gn(t)=i0tdτe(i(EnEn0ω)τ)n|F^|n0i0tdτe(i(EnEn0+ω)τ)n|F^+|n0gn(t)=n|F^|n0{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}n|F^+|n0{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von |n0 auf |n

|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+n|F^|n0*n|F^+|n0{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}+n|F^+|n0*n|F^|n0{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}Ω±:=Ω±ω=(EnEn0±ω)|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+n|F^|n0*n|F^+|n0{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+n|F^+|n0*n|F^|n0{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}n|F^|n0*n|F^+|n0:=Aeiγn|F^+|n0*n|F^|n0:=Aeiγ
|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+Aeiγ{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+Aeiγ{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}

Weiter gilt

Aeiγ{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+Aeiγ{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}=4A2Ω+Ωcos(ωtγ)[cos(ωt)cos(Ωt)]

Für ω0,Ω0 sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für t sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme ~tδ(EnEn0±ω)=tδ(Ω±)

Somit folgt für t

|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen |n0 und |n pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

Wnn0=ddt|n|Ψt|2=2π|n|F^|n0|2δ(EnEn0ω)+2π|n0|F^|n|2δ(EnEn0+ω)

Die Terme lassen sich identifizieren:

2π|n|F^|n0|2δ(EnEn0ω)

steht für die Absorption eines Quants der Energie ω bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von |n0 auf|n,

was einem Energiesprung von EnEn0

entspricht. Das Quant wird also von Niveau |n0 auf |n gehievt

2π|n0|F^+|n|2δ(EnEn0+ω)

steht für die Emission eines Quants der Energie ω bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von |n auf|n0,

was einer Energieabgabe von En0En

entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau |n0 auf das Niveau |n herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

H^W1(t)=e(iH^0t)H^S1e(iH^0t)

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit H^0 gewonnen, während die Zustände mitH^W1(t) evolutionieren:

iddt|ΨW=H^W1(t)|ΨW

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

|ΨW(t)=|ΨW(t=0)i0tdτ(H^W1(τ)|ΨW(τ))|ΨW(t=0)=|n0

Für kleine H^W1 liefert eine Iteration:

|ΨW(t)=|ΨW(t=0)i0tdτ(H^W1(τ)|ΨW(τ))(1i0tdτH^W1(τ))|n0|ΨW(t)(1i0tdτH^W1(τ))|n0=(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0

Mit

|ΨS(t)=eiH^0t|ΨW(t)eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0

und

eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ):=U(t,0)

Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

cn(t)=n|Ψ=n|U(t,0)|n0=n|eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0cn(t)=eiEnt(δnn0i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ)δnn0=gn(0)i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ=εgn(1)cn(t)=eiEnt(δnn0i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ)=eiEntgn(t)

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!