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| Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t) | | Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t) |
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| Kncoked my socks off with knowledge!
| | ====Mehrere Variablen==== |
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| 8jx25t <a href="http://iwfyfsjyloiw.com/">iwfyfsjyloiw</a>
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| | :<math>\begin{align} |
| | & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\ |
| | & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ |
| | & H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L} \\ |
| | & \\ |
| | \end{align}</math> |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & dH=\sum\limits_{k}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}d{{p}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum\limits_{k}{{{p}_{k}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ |
| | & =\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ |
| | & \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}=-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}} \\ |
| | & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{k}} \\ |
| | & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}};\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\ |
| | \end{align}</math> |
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| | Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen) |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ |
| | & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ |
| | \end{align}</math> |
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| | Der 2f- dimensionale Raum |
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| | :<math>\Gamma :=\left\{ {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right\}</math> |
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| | heißt Phasenraum. |
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| | Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum. |
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| | ====Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion==== |
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| | * wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften |
| | * und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V |
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| | Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.): |
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| | mit |
| | :<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0</math> |
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| | Dann nämlich ist |
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| | :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math> |
| | (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der |
| | :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>. |
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| | Somit: |
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| | :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V</math> |
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| | beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften! |
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| | Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz |
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| | folgt dann Gesamtenergieerhaltung. |
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| | Dies läßt sich leicht nachweisen: |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ |
| | & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ |
| | \end{align}</math> |
| | Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!! |
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| | =====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:===== |
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| | Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt: |
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| | Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit |
| | :<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math>. |
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| | Aus |
| | :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math> |
| | folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const. |
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| ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:==== | | ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:==== |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Eine Variable:
Differenziale:
- wegen
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
Mehrere Variablen
Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)
Der 2f- dimensionale Raum
heißt Phasenraum.
Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.
Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion
- wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
- und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):
mit
Dann nämlich ist
(nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der
- .
Somit:
beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!
Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz
folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
Dies läßt sich leicht nachweisen:
Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!
Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:
Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
- .
Aus
folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:
- Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
- Transformation des Radiusvektors
- Aufstellung der Lagrangegleichung:
- Bestimmung der generalisierten Impulse:
- Anschließend Legendre Trafo:
- Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
Beispiele:
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
- Generalisierte Impulse:
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
- Kanonische Gleichungen:
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
- ,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
sind zyklische Variablen
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
Das System ist skleronom wegen
- ,
also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
Die Halbachsen sind:
(bestimmt durch 1. Integral).
Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
ist kanonischer Impuls