Die Hamiltonschen Gleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die

p_{k}, q_{k}

gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für

q_{k}

aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:

\begin{matrix} L = L (q, \dot{q}, t) : d L = \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ H = H (q, p, t) : d H = \frac{\partial H}{\partial q} d q + \frac{\partial H}{\partial p} d p + \frac{\partial H}{\partial t} d t \\ H = \dot{q} p - L \Rightarrow d H = \dot{q} d p + p d \dot{q} - d L = \dot{q} d p + p d \dot{q} - \frac{\partial L}{\partial q} d q - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} - \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{matrix}

wegen

\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = p \\ \Rightarrow d H = \frac{\partial H}{\partial q} d q + \frac{\partial H}{\partial p} d p + \frac{\partial H}{\partial t} d t = \dot{q} d p - \frac{\partial L}{\partial q} d q - \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{matrix}

Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für

\begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q} = - \frac{\partial L}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \\ \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \end{matrix}

Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}; \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = p; \frac{\partial L}{\partial q} = - \frac{\partial H}{\partial q} \\ \Rightarrow \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \end{matrix}

Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen

\begin{matrix} L (q_{1}, ..., q_{f}, {\dot{q}}_{1}, ..., {\dot{q}}_{f}, t) \\ p_{k} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} \\ H (q_{1}, ..., q_{f}, p_{1}, ..., p_{f}, t) = \sum_{k = 1}^{f} {\dot{q}}_{k} p_{k} - L \end{matrix}

\begin{matrix} d H = \sum_{k} (\frac{\partial H}{\partial q_{k}} d q_{k} + \frac{\partial H}{\partial p_{k}} d p_{k}) + \frac{\partial H}{\partial t} d t = \sum_{k} {\dot{q}}_{k} d p_{k} + \sum_{k} p_{k} d {\dot{q}}_{k} - \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} d {\dot{q}}_{k} - \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k} - \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ = \sum_{k} {\dot{q}}_{k} d p_{k} - \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k} - \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial q_{k}} = - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \\ \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = \frac{d}{d t} p_{k} \\ \frac{\partial H}{\partial p_{k}} = {\dot{q}}_{k}; \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \end{matrix}

Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)

\begin{matrix} {\dot{p}}_{k} = - \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \\ \frac{\partial H}{\partial p_{k}} = {\dot{q}}_{k} k = 1, ..., f \end{matrix}

Der 2f- dimensionale Raum

Γ := {q_{1}, ..., q_{f}, {\dot{q}}_{1}, ..., {\dot{q}}_{f}}

heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):

mit

\frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}) = 0 u n d \frac{\partial}{\partial t} L = 0

Dann nämlich ist

\sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k} = 2 T

 (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der

{\dot{q}}_{k}

.

Somit:

\sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k} - L = \sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k} - L = 2 T - T + V = T + V

beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:

\begin{matrix} \frac{d H}{d t} = \frac{d}{d t} (\sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k} - L) = \sum_{k = 1}^{f} (\frac{\partial H}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial H}{\partial p_{k}} {\dot{p}}_{k}) + \frac{\partial H}{\partial t} = \sum_{k = 1}^{f} (\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} - \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}}) - \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \\ w e g e n \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \end{matrix}

Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit

V = - m q^{2} ω^{2}

.

Aus

\frac{\partial L}{\partial t} = 0

folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:

\bar{q} = (q_{1}, ..., q_{f})

Transformation des Radiusvektors

\begin{matrix} {\bar{r}}_{i} = {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}, t) \\ {\dot{\bar{r}}}_{i} = {\dot{\bar{r}}}_{i} (\bar{q}, \dot{\bar{q}}, t) \end{matrix}

Aufstellung der Lagrangegleichung:

L (\bar{q}, \dot{\bar{q}}, t) = T - V = \frac{1}{2} m \sum_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2} - V

Bestimmung der generalisierten Impulse:

\begin{matrix} p_{k} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} \Rightarrow p_{k} = p_{k} (\bar{q}, \dot{\bar{q}}, t) \\ U m k e h r u n g : {\dot{q}}_{k} = {\dot{q}}_{k} (\bar{q}, \bar{p}, t) \end{matrix}

Anschließend Legendre Trafo:

H (q_{1}, ..., q_{f}, p_{1}, ..., p_{f}, t) = \sum_{k = 1}^{f} {\dot{q}}_{k} p_{k} - L

Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:

\begin{matrix} {\dot{p}}_{k} = - \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \\ \frac{\partial H}{\partial p_{k}} = {\dot{q}}_{k} k = 1, ..., f \end{matrix}

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

q1=3, q2=Phi, q3 = z

\begin{matrix} x = r \cos ϕ, \dot{x} = \dot{r} \cos ϕ - r \dot{ϕ} \sin ϕ \\ y = r \sin ϕ, \dot{y} = \dot{r} \sin ϕ + r \dot{ϕ} \cos ϕ \\ z = z \end{matrix}

\begin{matrix} T = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) \\ V = V (r, ϕ, z) \\ L = L (r, ϕ, z, \dot{r}, \dot{ϕ}, \dot{z}) = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - V \end{matrix}

Generalisierte Impulse:

\begin{matrix} p_{k} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} \\ p_{r} = m \dot{r} \\ p_{ϕ} = m r^{2} \dot{ϕ} \\ p_{z} = m \dot{z} \end{matrix}

                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses

Aufstellung der Legendretrafo:

\begin{matrix} H = m {\dot{r}}^{2} + m r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + m {\dot{z}}^{2} = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) + V \\ H = \frac{1}{2 m} ({p_{r}}^{2} + \frac{{p_{ϕ}}^{2}}{r^{2}} + {p_{z}}^{2}) + V (r, ϕ, z) \end{matrix}

Kanonische Gleichungen:

\begin{matrix} {\dot{p}}_{k} = - \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \\ \frac{\partial H}{\partial p_{k}} = {\dot{q}}_{k} k = 1, ..., f \\ \dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p_{r}} = \frac{p_{r}}{m}, \dot{ϕ} = \frac{\partial H}{\partial p_{ϕ}} = \frac{p_{ϕ}}{m r^{2}}, \dot{z} = \frac{\partial H}{\partial p_{z}} = \frac{p_{z}}{m} \\ {\dot{p}}_{r} = - \frac{\partial H}{\partial r} = \frac{{p_{ϕ}}^{2}}{m r^{3}} - \frac{\partial V}{\partial r}, {\dot{p}}_{ϕ} = - \frac{\partial H}{\partial ϕ} = - \frac{\partial V}{\partial ϕ}, {\dot{p}}_{z} = - \frac{\partial H}{\partial z} = - \frac{\partial V}{\partial z} \end{matrix}

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=

\frac{{p_{ϕ}}^{2}}{m r^{3}}

,

die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:

{\dot{p}}_{r} = - \frac{\partial H}{\partial r} = \frac{{p_{ϕ}}^{2}}{m r^{3}} - \frac{\partial V}{\partial r}, {\dot{p}}_{ϕ} = 0, {\dot{p}}_{z} = 0

Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.

z, ϕ

sind zyklische Variablen

\begin{matrix} p_{z} = c o n s t . = o . B . d . A . = 0 \\ p_{ϕ} = c o n s t . \end{matrix}

oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen

\frac{\partial L}{\partial t} = 0

,

also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V

\frac{1}{2} m ({\dot{q}}^{2} + {ω_{o}}^{2} q^{2}) = E = \frac{1}{2} m (\frac{p^{2}}{m^{2}} + {ω_{o}}^{2} q^{2}) \Rightarrow \frac{p^{2}}{2 m E} + \frac{q^{2}}{(\frac{2 E}{m {ω_{o}}^{2}})} = 1

Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:

a = \sqrt{2 m E}, b = \sqrt{\frac{2 E}{m {ω_{o}}^{2}}}

(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:

\begin{matrix} {\dot{p}}_{} = - \frac{\partial H}{\partial q} = - m {ω_{o}}^{2} q \\ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} \end{matrix}

Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung

\begin{matrix} \ddot{q} = \frac{d}{d t} \frac{\partial H}{\partial q} = \frac{\dot{p}}{\overset{´}{} m} = - {ω_{o}}^{2} q \\ \ddot{q} + {ω_{o}}^{2} q = 0 \end{matrix}

Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:

L (\bar{q}, \dot{\bar{q}}, t) = T - V = \frac{1}{2} m \sum_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2} - V = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A} (\bar{q}, t) - Φ (\bar{q}, t))

die kanonischen konjugierten Impulse lauten:

\begin{matrix} p_{k} = \frac{\partial L (\bar{q}, \dot{\bar{q}}, t)}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\dot{q}}_{\overset{´}{} k} + e A_{k} (\bar{q}, t) \\ \Rightarrow {\dot{q}}_{k} = \frac{1}{m} (p_{k} - e A_{k}) \\ H = \sum_{k = 1}^{3} p_{k} {\dot{q}}_{k} - L = \sum_{k = 1}^{3} p_{k} \frac{1}{m} (p_{k} - e A_{k}) - \frac{1}{2 m} \sum_{k = 1}^{3} {(p_{k} - e A_{k})}^{2} - \sum_{k = 1}^{3} \frac{e}{m} (p_{k} - e A_{k}) A_{k} + e Φ \\ H (\bar{q}, \bar{p}, t) = \frac{1}{2 m} {({\bar{p}}_{} - e \bar{A} {(\bar{q}, t)}_{})}^{2} + e Φ (\bar{q}, t) \end{matrix}

Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich

m \dot{\bar{q}} = \bar{p} - e \bar{A}

als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).

p_{k} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}}

ist kanonischer Impuls

Die Hamiltonschen Gleichungen

Inhaltsverzeichnis

Eine Variable:

Mehrere Variablen

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

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Die Hamiltonschen Gleichungen

Eine Variable:

Mehrere Variablen

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

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