Konzepte der statistischen Physik: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:52 Uhr

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Konzepte der statistischen Physik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Statistik beschäftigt sich mit Vielteilchensystemen, die so viele Freiheitsgrade haben, dass es nicht einmal mögliche wäre die leider unbekannte Lösung für das System aufzuschreiben.

System-Bad-Ansatz

Aufteilung der Welt in Umgebung und System die mit Wechselwirkung verbunden sind

Schaubild System Bad
Badparameter	Umgebung		System	Systemvariabele
Parameter $μ_{λ}$ z.B.T	Umgebung mit vielen Freiheitsgraden "Bad"	Wechselwirkung	System mit wenigen oder vielen Freiheitsgraden (Dafür interessieren Sie sich)	in: externe Felder $h_{α}$ z.B zeitabhängiges Volumen V(t) out: Aulsesen von Observabelen $G_{ν}$

Konzept mit Vielteilchensystemen umzugehen:

Die statistische Physik reagiert auf den Mangel an Informationen (Vielteilchensysteme nicht wirklich beschreibbar) durch einen Mangel an Fragen!

Beispiel:Frage: Druck des Gases

Mangel an Info: Bahnkurven unbekannt

Kosten eines solchen Vorgehens: man bezahlt die wenigen Fragen die man stellt mit den Schwankungen der Meßgrößen.

BILD Druckmessung im Gas, Druckdiagramm Zeitlich(p,t) und Druckhistogramm(h_i,P_i)

{⟨ p ⟩}_{t} =

zeitlicher Mittelwert

{⟨ p ⟩}_{E} =

ensemble Mittelwert

h_{i} = \frac{N_{i}}{M}

N_{i} =

Anzahl der Druckwerte p_i

M Gesamtzahl des Wertes p_i

{⟨ p ⟩}_{t} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{M} p (t_{i}) = \frac{1}{A} \sum_{St \ddot{o} sse des Teilchens j} F_{j} (t_{i})

mit A~Fläche

h_{i} = \frac{N_{i}}{M} = \frac{Anzahl der Momentan aufnahmen zu Wert p_{i}}{Gesamtzahl aller Momentaufnahmen}

wenn von der Zeitfolge abstrahiert wird, so kann man für $M \to \infty$ , $h_{i}$ als Wahrscheinlichkeit w_i definieren den Wert p_i im System zu finden

{⟨ p ⟩}_{E} = \sum_{i} w_{i} p_{i}

Mittelungmethoden

Man hat also 2 Möglichkeiten der Observabelen des System zu bestimmen

Observable über M-Zeitpunkte zu mitteln (1-System)
Observable über M System mitteln (1-Zeitpunkt)

Hoffung : ${⟨ p ⟩}_{E} = ⟨ p ⟩ = {⟨ p ⟩}_{t}$ wird als Ergodenhypothese formuliert.

(nach Eherenfest gilt für die klassische Mechanik: wenn die Kurven eines System im Phasenraum jedem Punkt einer Fläche E=konstant beliebig nachen kommt so gilt die Ergodenhypothes; Stöße sind oft Voraussetzung der Erdogenhypothese)

Hauptaufgabe der statistischen Physik

Ableitung von Gesetzen für makroskopische Systemvariabelen unter dem Einfluss der Umgebung und externer Felder. Die Ableitung erfolgt auf Grundlage der Wahrscheinlichkeiten $w_{i}$ mit denen mikroskopischen Zuständen $| Ψ_{i} ⟩$ des Systems (ohne Umgebung bestimmt) angenommen werden. (mit Umgebung)

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-Statistik beschäftigt sich mit Vielteilchensystemen, die so viele Freiheitsgrade haben, dass es nicht einmal mögliche wäre die (leider unbekannte) Lösung für das System aufzuschreiben.
+<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|1|1}}</noinclude>
+Statistik beschäftigt sich mit {{FB|Vielteilchensystemen}}, die so viele '''Freiheitsgrade''' haben, dass es nicht einmal mögliche wäre die leider '''unbekannte Lösung''' für das System aufzuschreiben.
-{{FB|System-Bad-Ansatz}}:
+===System-Bad-Ansatz===
-Aufteilung der Welt in Umgebung und System die mit Wechselwirkung verbunden sind
+Aufteilung der Welt in '''Umgebung''' und '''System''' die mit Wechselwirkung verbunden sind
 {| class="wikitable" border="1"
 |+ Schaubild System Bad
-! Badparameter!!Umgebung !! !!System !! Systemvariabele
+! Badparameter!!Umgebung!!!!System!! Systemvariabele
 |-
-| Parameter <math>\mu_\lambda</math> z.B.T|| Umgebung mit vielen Freiheitsgraden "Bad"||Wechselwirkung||System mit wenigen oder vielen Freiheitsgraden
+| Parameter <math>\mu_\lambda</math> z.B.T|| Umgebung mit vielen Freiheitsgraden "Bad"||Wechselwirkung
-(Dafür interessieren Sie sich)||in: externe Felder <math>h_\alpha</math> z.B zeitabhängiges Volumen V(t)
+||System mit wenigen oder vielen Freiheitsgraden
+(Dafür interessieren Sie sich)
+||in: externe Felder <math>h_\alpha</math> z.B zeitabhängiges Volumen V(t)
 out: Aulsesen von Observabelen <math>G_\nu</math>
 |}
+Konzept mit Vielteilchensystemen umzugehen:
+Die statistische Physik reagiert auf den '''Mangel an Informationen''' (Vielteilchensysteme nicht wirklich beschreibbar) durch einen '''Mangel an Fragen'''!
+{{Beispiel|'''Beispiel''':Frage: Druck des Gases
+Mangel an Info: Bahnkurven unbekannt
+Kosten eines solchen Vorgehens: man bezahlt die wenigen Fragen die man stellt mit den Schwankungen der Meßgrößen.
+[[File:Gas particles in a square.svg|miniatur]]
+BILD Druckmessung im Gas, Druckdiagramm Zeitlich(p,t) und Druckhistogramm(h_i,P_i)
+:<math>\left\langle {p} \right\rangle_{t} =</math> {{FB|zeitlicher Mittelwert}}
+:<math>\left\langle {p}\right\rangle_{E}  =</math> {{FB|ensemble Mittelwert}}
+:<math>h_i=\frac{N_i}{M}</math>
+:<math>N_i=</math> Anzahl der Druckwerte p_i
+:M Gesamtzahl des Wertes p_i
+:<math>\left\langle {p} \right\rangle_{t} =\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{M}{p\left( {{t}_{i}} \right)}=\frac{1}{A}\sum\limits_{\text{St }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse des Teilchens j}}{{{F}_{j}}\left( {{t}_{i}} \right)}</math> mit A~Fläche
+:<math>{{h}_{i}}=\frac{{{N}_{i}}}{M}=\frac{\text{Anzahl der Momentan aufnahmen zu Wert }{{\text{p}}_{i}}}{\text{Gesamtzahl aller Momentaufnahmen}}</math>
+wenn von der Zeitfolge abstrahiert wird, so kann man für <math>M \to \infty </math>, <math>h_i</math> als Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> definieren den Wert p<sub>i</sub> im System zu finden
+:<math>{{\left\langle p \right\rangle }_{E}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{p}_{i}}}</math>
+}}
+===Mittelungmethoden===
+Man hat also 2 Möglichkeiten der Observabelen des System zu bestimmen
+# Observable über M-Zeitpunkte zu mitteln (1-System)
+# Observable über M System mitteln (1-Zeitpunkt)
+'''Hoffung''' :<math>{{\left\langle p \right\rangle }_{E}}=\left\langle p \right\rangle ={{\left\langle p \right\rangle }_{t}}</math> wird als {{FB|Ergodenhypothese}} formuliert.
+(nach Eherenfest gilt für die klassische Mechanik: wenn die Kurven eines System im Phasenraum jedem Punkt einer Fläche E=konstant beliebig nachen kommt so gilt die Ergodenhypothes; Stöße sind oft Voraussetzung der Erdogenhypothese)
+===Hauptaufgabe der statistischen Physik===
+Ableitung von Gesetzen für makroskopische '''Systemvariabelen''' unter dem Einfluss der '''Umgebung''' und '''externer Felder'''.
+Die Ableitung erfolgt auf Grundlage der '''Wahrscheinlichkeiten''' <math>w_i</math> mit denen '''mikroskopischen Zuständen''' <math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> des Systems (ohne Umgebung bestimmt) angenommen werden. (mit Umgebung)

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