Aktuelle Version vom 12. September 2010, 20:50 Uhr

auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $δ S = 0$
Start und Zielpunkt $(q, t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
Zeit wird nicht mitvarieiert $δ t = 0$
Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
$\underline{q} (t), \underline{q^{'}} (t) \in C^{2}$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
unabhängig von Koordinatenwahl
Allgemein

δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ T - δ A) d t = 0

mit

δ A = \sum_{i} {\underline{X}}_{i} δ \underline{r_{i}}

spezielle Form

holonome Zwangsbedingungen → generalisierte Koordinaten
konservative Kräfte → $L = T - V$

führt zur Wirkung $S [q] : = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t$

M1

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

\begin{aligned} δ S [q] & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L (q, \dot{q}, t) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{aligned}

oder

\begin{aligned} δ S [q] & = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + δ q, \dot{q} + δ \dot{q}, t) d t \\ = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\underset{= S [q_{0}]}{\underset{⏟}{L}} + \partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \\ = - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{aligned}

mit partieller Integration ( $\int u^{'} v = u v - \int v^{'} u$ ) mit

u = δ q, v = \partial_{\dot{q}} L

\partial_{\dot{q}} L δ \dot{q} = d_{t} (\partial_{\dot{q}} L δ q) - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q

\begin{aligned} δ S [q] & = - {[\partial_{\dot{q}} L δ q]}_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L δ q d t \end{aligned}

(d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L = 0

M2

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 * unabhängig von Koordinatenwahl
 * Allgemein
-<math>\delta S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \delta T-\delta A \right)dt}=0</math>
+:<math>\delta S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \delta T-\delta A \right)dt}=0</math> mit <math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{\underline{X}}_{i}}\delta \underline{{{r}_{i}}}}</math>
- mit
-<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{\underline{X}}_{i}}\delta \underline{{{r}_{i}}}}</math>
 == spezielle Form==
-* holonome [[Zwangsbedingungen]] --> generalisierte Koordinaten
+* holonome [[Zwangsbedingungen]] → generalisierte Koordinaten
-* konservative Kräfte --> <math>L=T-V</math>
+* konservative Kräfte → <math>L=T-V</math>
 führt zur Wirkung <math>S\left[ q \right]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q,\dot{q},t \right)dt}</math>
 [[FragenID::M1]]
 =Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen=
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
     \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\
   & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt}
-\end{align}</math>
+\end{align}</math> oder <math>\begin{align}
-oder
-<math>\begin{align}
     \delta S\left[ q \right] & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right)dt} \\
   & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \underbrace{L}_{=S\left[ {{q}_{0}} \right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \\
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 mit partieller Integration (<math>\int{u'v=uv-\int{v'u}}</math>) mit
-<math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math>
+:<math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math>
-<math>{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q</math>
+:<math>{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q</math>
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-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-    \delta S\left[ q \right]=- \cancel {\left[ {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right]_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}} -\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\
+    \delta S\left[ q \right] & =- \cancel {\left[ {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right]_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}} -\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\
   & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt}
 \end{align}</math>
-<math>\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L=0</math>
+:<math>\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L=0</math>
-[[FragenID:M2]]
+[[FrageID::M2]]
 [[Kategorie:Mechanik]]

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