Hamiltonsches Prinzip

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auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $δ S = 0$
Start und Zielpunkt $(q, t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
Zeit wird nicht mitvarieiert $δ t = 0$
Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
$\underline{q} (t), \underline{q^{'}} (t) \in C^{2}$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
unabhängig von Koordinatenwahl
Allgemein

δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ T - δ A) d t = 0

mit

δ A = \sum_{i} {\underline{X}}_{i} δ \underline{r_{i}}

spezielle Form

holonome Zwangsbedingungen → generalisierte Koordinaten
konservative Kräfte → $L = T - V$

führt zur Wirkung $S [q] := \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t$

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

\begin{matrix} δ S [q] & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L (q, \dot{q}, t) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{matrix}

oder

\begin{matrix} δ S [q] & = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + δ q, \dot{q} + δ \dot{q}, t) d t \\ = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\underset{= S [q_{0}]}{\underset{⏟}{L}} + \partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \\ = - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{matrix}

mit partieller Integration ( $\int u^{'} v = u v - \int v^{'} u$ ) mit

u = δ q, v = \partial_{\dot{q}} L

\partial_{\dot{q}} L δ \dot{q} = d_{t} (\partial_{\dot{q}} L δ q) - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q

\begin{matrix} δ S [q] & = - {[\partial_{\dot{q}} L δ q]}_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L δ q d t \end{matrix}

(d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L = 0

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Mechanik