Master Gleichung

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H=H_S+H_B+H_I$ bestehend aus

• System $H_S$
• Umgebung $H_B$
• WW $H_I$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

• links ${}^L{H}_B=\sum _k{}^L{\epsilon }_k{}^L{N}_k$
• und rechts ${}^R{H}_B=\sum _k{}^R{\epsilon }_k{}^R{N}_k$ zuammen mit ${}^X{N}_k={}^X{a}_k^{+}{}^X{a}_k$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen $H_I={}_S^L{H}_I+{}_S^R{H}_I+{}_L^S{H}_I+{}_R^S{H}_I$

• Von Links ins System ${}_S^L{H}_I$
• Vor Rechts ins System ${}_S^R{H}_I$
• Vom System nach Links ${}_L^S{H}_I$
• Vom System nach Rechts ${}_R^S{H}_I$ mit ${}_S^X{H}_I=\sum _{k,i}{}^X{V_k}^X{a}_k^{†}{e}_i$ und ${}_X^S{H}_I=\sum _{k,i}{}^X{V_k}^X{a}_k{e}_i^{†}$

$e_i$ erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.

$e_i^{†}$ vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

$\tilde{A}\left(t\right):=U_0^{†}A{U}_0$

mit $U_0=\exp (-\mathfrak{i}{H}_{0}t)$ und $H_0=H_S+H_B$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung

$\dot{\rho }=-\mathfrak{i}\left[H,\rho \right]$

mit der Lösung

$\rho \left(t\right)=U^{†}{\rho }_{0}U$

mit $U=\exp (-\mathfrak{i}Ht)$

Beweis

${\partial }_{t}U=-\mathfrak{i}HU$ sowie ${\partial }_t{U}^{†}=\mathfrak{i}HU$

Dann ist

$d_t\rho =\underset{-\mathfrak{i}[H,\rho ]}{\underbrace{-\mathfrak{i}HU{\rho }_0{U}^{†}+U{\rho }_0\mathfrak{i}H{U}^{†}}}+\underset{0}{\underbrace{U\left({\partial }_t{\rho }_0\right)U^{†}}}$

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu

$\begin{array}{rl}& d_t\tilde{\rho }=d_t\left(U_0^{†}\rho U_0\right)\\ & =\mathfrak{i}{H}_0{U}_0^{†}\rho U_0-i{U}_0^{†}\rho H_0{U}_0+U_0^{†}{d}_t\left(\rho \right)U_0\\ & =\mathfrak{i}[H_0,\tilde{\rho }]-\mathfrak{i}{U}_0^{†}[H,\rho ]U_0\\ & =\mathfrak{i}[H_0,\tilde{\rho }]-\mathfrak{i}{U}_0^{†}[H_0+H_I,\rho ]U_0\\ & =\mathfrak{i}[H_0,\tilde{\rho }]-\mathfrak{i}[H_0,\tilde{\rho }]-\mathfrak{i}{U}_0^{†}[H_I,\rho ]U_0\\ & =-\mathfrak{i}[{\tilde{H}}_I,\tilde{\rho }]\\ \end{array}$

Lösung

Integrieren

$\tilde{\rho }={\rho }_0-\mathfrak{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}[\widetilde{H_I},\tilde{\rho }]d{t}^{\prime }$

auf rechter Seite einsetzen

$\begin{array}{rl}& d_t\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}[{\tilde{H}}_I,{\rho }_0-\mathfrak{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}[{\tilde{H}}_I,\tilde{\rho }]d{t^{\prime }}^{\prime }]\\ & =-\mathfrak{i}[{\tilde{H}}_I,{\rho }_0]-[{\tilde{H}}_I,\underset{0}{\overset{t}{\int }}[{\tilde{H}}_I,\tilde{\rho }]d{t^{\prime }}^{\prime }]\\ & =-\mathfrak{i}[{\tilde{H}}_I,{\rho }_0]-\underset{0}{\overset{t}{\int }}[{\tilde{H}}_I,[{\tilde{H}}_I,\tilde{\rho }]]d{t^{\prime }}^{\prime }\end{array}$

System Dichteoperator

Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

${\rho }_S={\mathrm{Tr}}_B\left[\rho \right]$

${\tilde{\rho }}_S=U_S^{†}{\rho }_S{U}_S$

$U_S=\exp (-\mathfrak{i}{H}_{S}t)$

damit folgt für

$\begin{array}{rl}& d_t\widetilde{{\rho }_S}=-\mathfrak{i}{\mathrm{Tr}}_B[{\tilde{H}}_I,{\rho }_0]-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{Tr}}_B[{\tilde{H}}_I,[{\tilde{H}}_I,\tilde{\rho }]]d{t^{\prime }}^{\prime }\end{array}$

Annahmen

• WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
• no korrelation beteween System and Bath at t=0

-->

${\tilde{\rho }}_0={\rho }_0={\rho }_{S,0}{R}_{B,0}$

• Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.

-->

${\mathrm{Tr}}_S\left[{\tilde{H}}_I{R}_{B,0}\right]=0\Rightarrow [{\tilde{H}}_I,{\rho }_0]=0$

• Dichtematrix zu t=0 Sperabel
• Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
• Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

$\tilde{\rho }={\tilde{\rho }}_{S,0}{R}_{B,0}+O\left(H_I\right)$

Bornsche Näherung

• Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

$d_t{\tilde{\rho }}_S=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{Tr}}_B[{\tilde{H}}_I,[\tilde{H}{\text{'}}_I,\tilde{\rho }{\text{'}}_S{R}_{B,0}]]d{t^{\prime }}^{\prime }$

Markov Näherung

• Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab

${\rho }_S=\rho {\text{'}}_S$