Master Gleichung

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H = H_{S} + H_{B} + H_{I}$ bestehend aus

System $H_{S}$
Umgebung $H_{B}$
WW $H_{I}$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

links $^{L} H_{B} = \sum_{k}^{L} ε_{k}^{L} N_{k}$
und rechts $^{R} H_{B} = \sum_{k}^{R} ε_{k}^{R} N_{k}$ zuammen mit $^{X} N_{k} =^{X} a_{k}^{+}^{X} a_{k}$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen $H_{I} =_{S}^{L} H_{I} +_{S}^{R} H_{I} +_{L}^{S} H_{I} +_{R}^{S} H_{I}$

Von Links ins System $_{S}^{L} H_{I}$
Vor Rechts ins System $_{S}^{R} H_{I}$
Vom System nach Links $_{L}^{S} H_{I}$
Vom System nach Rechts $_{R}^{S} H_{I}$ mit $_{S}^{X} H_{I} = \sum_{k, i}^{X} {V_{k}}^{X} a_{k}^{†} e_{i}$ und $_{X}^{S} H_{I} = \sum_{k, i}^{X} {V_{k}}^{X} a_{k} e_{i}^{†}$

e_{i}

erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.

e_{i}^{†}

vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

\tilde{A} (t) := U_{0}^{†} A U_{0}

mit $U_{0} = \exp (- 𝔦 H_{0} t)$ und $H_{0} = H_{S} + H_{B}$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung

\dot{ρ} = - 𝔦 [H, ρ]

mit der Lösung

ρ (t) = U^{†} ρ_{0} U

mit $U = \exp (- 𝔦 H t)$

Beweis

\partial_{t} U = - 𝔦 H U

sowie

\partial_{t} U^{†} = 𝔦 H U

Dann ist

d_{t} ρ = \underset{- 𝔦 [H, ρ]}{\underset{⏟}{- 𝔦 H U ρ_{0} U^{†} + U ρ_{0} 𝔦 H U^{†}}} + \underset{0}{\underset{⏟}{U (\partial_{t} ρ_{0}) U^{†}}}

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu

\begin{matrix} d_{t} \tilde{ρ} = d_{t} (U_{0}^{†} ρ U_{0}) \\ = 𝔦 H_{0} U_{0}^{†} ρ U_{0} - i U_{0}^{†} ρ H_{0} U_{0} + U_{0}^{†} d_{t} (ρ) U_{0} \\ = 𝔦 [H_{0}, \tilde{ρ}] - 𝔦 U_{0}^{†} [H, ρ] U_{0} \\ = 𝔦 [H_{0}, \tilde{ρ}] - 𝔦 U_{0}^{†} [H_{0} + H_{I}, ρ] U_{0} \\ = 𝔦 [H_{0}, \tilde{ρ}] - 𝔦 [H_{0}, \tilde{ρ}] - 𝔦 U_{0}^{†} [H_{I}, ρ] U_{0} \\ = - 𝔦 [{\tilde{H}}_{I}, \tilde{ρ}] \end{matrix}

Lösung

Integrieren

\tilde{ρ} = ρ_{0} - 𝔦 \int_{0}^{t} [\tilde{H_{I}}, \tilde{ρ}] d t^{'}

auf rechter Seite einsetzen

\begin{matrix} d_{t} \tilde{ρ} = - 𝔦 [{\tilde{H}}_{I}, ρ_{0} - 𝔦 \int_{0}^{t} [{\tilde{H}}_{I}, \tilde{ρ}] d t^{'}] \\ = - 𝔦 [{\tilde{H}}_{I}, ρ_{0}] - [{\tilde{H}}_{I}, \int_{0}^{t} [{\tilde{H}}_{I}, \tilde{ρ}] d t^{'}] \\ = - 𝔦 [{\tilde{H}}_{I}, ρ_{0}] - \int_{0}^{t} [{\tilde{H}}_{I}, [{\tilde{H}}_{I}, \tilde{ρ}]] d t^{'} \end{matrix}

System Dichteoperator

Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

ρ_{S} = {Tr}_{B} [ρ]

{\tilde{ρ}}_{S} = U_{S}^{†} ρ_{S} U_{S}

U_{S} = \exp (- 𝔦 H_{S} t)

damit folgt für

\begin{matrix} d_{t} \tilde{ρ_{S}} = - 𝔦 {Tr}_{B} [{\tilde{H}}_{I}, ρ_{0}] - \int_{0}^{t} {Tr}_{B} [{\tilde{H}}_{I}, [{\tilde{H}}_{I}, \tilde{ρ}]] d t^{'} \end{matrix}

Annahmen

WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
no korrelation beteween System and Bath at t=0

-->

{\tilde{ρ}}_{0} = ρ_{0} = ρ_{S, 0} R_{B, 0}

Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.

-->

{Tr}_{S} [{\tilde{H}}_{I} R_{B, 0}] = 0 \Rightarrow [{\tilde{H}}_{I}, ρ_{0}] = 0

Dichtematrix zu t=0 Sperabel
Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

\tilde{ρ} = {\tilde{ρ}}_{S, 0} R_{B, 0} + O (H_{I})

Bornsche Näherung

Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

d_{t} {\tilde{ρ}}_{S} = - \int_{0}^{t} {Tr}_{B} [{\tilde{H}}_{I}, [\tilde{H}'_{I}, \tilde{ρ}'_{S} R_{B, 0}]] d t^{'}

Markov Näherung

Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab

ρ_{S} = ρ'_{S}

Master Gleichung

Inhaltsverzeichnis

Transformation ins WW-Bild

Lösung

System Dichteoperator

Annahmen

Bornsche Näherung

Markov Näherung

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