Rotierendes Pendel: Unterschied zwischen den Versionen

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Lagrangefunktion <math>L=T-U</math>mit <math>T=\frac{1}{2}m{{\overset{\bullet }{\mathop{x}}\,}^{2}}</math>und <math>U=-mg{{x}_{y}}</math>da das Koordinatensystem gedreht ist. <math>\overrightarrow{x}=\left( \begin{align}
Lagrangefunktion <math>L=T-U</math>mit <math>T=\frac{1}{2}m{{\overset{\bullet }{\mathop{x}}\,}^{2}}</math>und <math>U=-mg{{x}_{y}}</math>da das Koordinatensystem gedreht ist. <math>\overrightarrow{x}=\left( \begin{align}
   & a\cos \left( \omega t \right)+L\sin \left( \varphi  \right) \\  
   & a\cos \left( \omega t \right)+L\sin \left( \varphi  \right) \\
  & -a\sin \left( \omega t \right)+L\cos \left( \varphi  \right) \\  
  & -a\sin \left( \omega t \right)+L\cos \left( \varphi  \right) \\
\end{align} \right)</math>somit folgt <math>\overrightarrow{{\dot{x}}}=\left( \begin{align}
\end{align} \right)</math>somit folgt <math>\overrightarrow{{\dot{x}}}=\left( \begin{align}
   & -a\omega \sin \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\cos \left( \varphi  \right) \\  
   & -a\omega \sin \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\cos \left( \varphi  \right) \\
  & \left( -1 \right)\left( a\omega \cos \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right) \right) \\  
  & \left( -1 \right)\left( a\omega \cos \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right) \right) \\
\end{align} \right)</math>dann ist  
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<math>\begin{align}
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   & {{{\dot{x}}}^{2}}={{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \varphi  \right)-aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi  \right)\sin \left( \omega t \right)+ \\  
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  & \quad \quad {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \varphi  \right)+aL\omega \dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right)\cos \left( \omega t \right) \\  
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Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:
Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}=\frac{\partial L}{\partial q}</math>also  
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}=\frac{\partial L}{\partial q}</math>also
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{\varphi }}\,}=m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)</math>
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{\varphi }}\,}=m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)</math>
<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi }=\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)</math>
<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi }=\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)</math>
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Der Realteil ist also <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{\Omega }{2}+i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)+b\sin \left( \frac{\Omega }{2}-i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)</math> nun ist aber <math>{{\omega }^{2}}a\ll g\Rightarrow {{\Omega }^{2}}\ll g</math> also ist <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)+\sqrt{g} \right)+b\sin \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)-\sqrt{g} \right)</math>
Der Realteil ist also <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{\Omega }{2}+i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)+b\sin \left( \frac{\Omega }{2}-i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)</math> nun ist aber <math>{{\omega }^{2}}a\ll g\Rightarrow {{\Omega }^{2}}\ll g</math> also ist <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)+\sqrt{g} \right)+b\sin \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)-\sqrt{g} \right)</math>
<math>a,b</math>sind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.
<math>a,b</math>sind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.
Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden  
Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden
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Mit <math>{{\omega }^{2}}a\gg g</math>folgt:
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Zu schwer…
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[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Mechanik Aufgabe]]

Version vom 15. April 2010, 01:25 Uhr

2 Rotierendes Pendel (12) a Lagrangefunktion L=TUmit T=12mx2und U=mgxyda das Koordinatensystem gedreht ist. x=(acos(ωt)+Lsin(φ)asin(ωt)+Lcos(φ))somit folgt x˙=(aωsin(ωt)+Lφ˙cos(φ)(1)(aωcos(ωt)+Lφ˙sin(φ)))dann ist x˙2=a2ω2sin2(ωt)+L2φ˙2cos2(φ)aLωφ˙cos(φ)sin(ωt)+a2ω2cos2(ωt)+L2φ˙2sin2(φ)+aLωφ˙sin(φ)cos(ωt)=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙(sin(φ)cos(ωt)cos(φ)sin(ωt))=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt)

L=m2(a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt))+mg(asin(ωt)+Lcos(φ)) b Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet: ddtLq=Lqalso ddtLφ=mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt) Lφ=m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ) m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ)mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt)=0 φ¨mL2φ˙maLωcos(φωt)+mgLsin(φ)m2aLω2cos(φωt)=0 c Für kleine Auslenkungen gilt: sin(φ)φ,cos(φωt)cos(ωt)=cos(ωt) φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mL(φgaω2Lcos(ωt)2)=0 Mit ω2agfolgt: φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mLφg=0φ¨Lφ˙aωcos(ωt)+φg=0 Die (homogene) Lösung ist nun: φ¨φ˙aLωcos(ωt)+gφ=0 nach komplexem Ansatz φ(t)=ceλtφ˙=cλeλtφ¨=cλ2eλt Erhält man: λ2Ωλ+g=0λ1,2=Ω2±Ω24gmit Ω=aLωcos(ωt) Also ist die allgemeine Lösung φ(t)=c1eλ1t+c2eλ2t=ce(λ1+λ2)tmit c1=c2*=:c Der Realteil ist also φ(t)=acos(Ω2+iΩ24g)+bsin(Ω2iΩ24g) nun ist aber ω2agΩ2g also ist φ(t)=acos(a2Lωcos(ωt)+g)+bsin(a2Lωcos(ωt)g) a,bsind aus den Anfangsbedingungen zu wählen. Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden d Mit ω2agfolgt: φ¨φ˙ma2ωLcos(φωt)aω22Lcos(φωt)=0 Zu schwer…