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| Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen | | Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen |
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen
gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
Somit können die Punktkoordinaten
nicht unabhängig voneinander variiert werden.
Ziel:
Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:
Anschließend können Bewegungsgleichungen für die
aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.
Wesentlich: Die
sind FREI variierbar ! Wegen
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.
Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:
Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:
Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:
, f=2
Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:
Virtuelle Verrückungen
müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:
wird ausgedrückt durch
Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:
Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:
Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:
Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:
Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:
So folgt:
Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !