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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Drehimpuls Vertauschungsrelationen ! | | Drehimpuls Vertauschungsrelationen! |
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| :<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math> | | :<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math> |
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| '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | | '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> |
| | , |
| | <math>{{\hat{J}}_{3}}</math> |
| | , |
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| | . |
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| ,<math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}</math>
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| .
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| Dies muss möglich sein, da | | Dies muss möglich sein, da |
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| \end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | | \end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> |
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| Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) ! | | Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)! |
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| Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | | Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis |
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| {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} ! | | {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}}! |
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| :<math>\left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | | :<math>\left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> |
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| {| class="wikitable" border="1" | | {| class="wikitable" border="1" |
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Die Vertauschungsrelationen:
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
Drehimpuls Vertauschungsrelationen!
Ebenso:
Also:
Die Produktzustände sind Eigenzustände zu aber nicht zu , da bzw.
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
,
,
.
Dies muss möglich sein, da
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
bezüglich des alten Zustandes
entwickelt werden:
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch-Gordan-Koeffizienten!
Dabei gilt:
!!
!!
Wobei: