Addition von Drehimpulsen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

\hat{\bar{J}} = \hat{\bar{L}} + \hat{\bar{S}}

Die Vertauschungsrelationen:

[{\hat{L}}_{j}, {\hat{S}}_{k}] = 0

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

\begin{matrix} \Rightarrow [{\hat{J}}_{j}, {\hat{J}}_{k}] = [{\hat{L}}_{j}, {\hat{L}}_{k}] + [{\hat{S}}_{j}, {\hat{S}}_{k}] \\ [{\hat{L}}_{j}, {\hat{L}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{L}}_{l} \\ [{\hat{S}}_{j}, {\hat{S}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{S}}_{l} \\ \Rightarrow [{\hat{J}}_{j}, {\hat{J}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{J}}_{l} \end{matrix}

Drehimpuls Vertauschungsrelationen!

[{\hat{J}}^{2}, {\hat{L}}_{3}] = [{\hat{L}}^{2} + {\hat{\bar{S}}}^{2} + 2 \hat{\bar{L}} \cdot \hat{\bar{S}}, {\hat{L}}_{3}] = 2 {\hat{\bar{S}}}_{j} [{\hat{L}}_{j}, {\hat{L}}_{3}] = 2 i ℏ ({\hat{S}}_{2} {\hat{L}}_{1} - {\hat{S}}_{1} {\hat{L}}_{2}) \neq 0

Ebenso:

[{\hat{J}}^{2}, {\hat{S}}_{3}] \neq 0

Also:

Die $2 (2 l + 1)$ Produktzustände $| l m m_{S} ⟩ = | l m ⟩ | m_{s} ⟩$ sind Eigenzustände zu ${\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{3}, {\hat{\bar{S}}}^{2}, {\hat{S}}_{3}$ aber nicht zu ${\hat{J}}^{2}$ , da $[{\hat{J}}^{2}, {\hat{L}}_{3}] \neq 0$ bzw. $[{\hat{J}}^{2}, {\hat{S}}_{3}] \neq 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${\hat{J}}^{2}$ , ${\hat{J}}_{3}$ , ${\hat{L}}^{2}, {\hat{\bar{S}}}^{2}$ .

Dies muss möglich sein, da

\begin{matrix} [{\hat{J}}^{2}, {\hat{L}}^{2}] = [{\hat{L}}^{2} + {\hat{\bar{S}}}^{2} + 2 \hat{\bar{L}} \cdot \hat{\bar{S}}, {\hat{L}}^{2}] = 0 \\ [{\hat{J}}^{2}, {\hat{\bar{S}}}^{2}] = [{\hat{L}}^{2} + {\hat{\bar{S}}}^{2} + 2 \hat{\bar{L}} \cdot \hat{\bar{S}}, {\hat{\bar{S}}}^{2}] = 0 \\ [{\hat{J}}_{3}, {\hat{L}}^{2}] = [{\hat{L}}_{3} + {\hat{\bar{S}}}_{3}, {\hat{L}}^{2}] = 0 \\ [{\hat{J}}_{3}, {\hat{\bar{S}}}^{2}] = [{\hat{L}}_{3} + {\hat{\bar{S}}}_{3}, {\hat{\bar{S}}}^{2}] = 0 \end{matrix}

Die Eigenwertgleichungen lauten:

\begin{matrix} {\hat{J}}^{2} | j m_{j} l s ⟩ = ℏ^{2} (j (j + 1)) | j m_{j} l s ⟩ \\ {\hat{J}}_{3} | j m_{j} l s ⟩ = ℏ m_{j} | j m_{j} l s ⟩ \\ {\hat{L}}^{2} | j m_{j} l s ⟩ = ℏ^{2} (l (l + 1) | j m_{j} l s ⟩ \\ {\hat{\bar{S}}}^{2} | j m_{j} l s ⟩ = ℏ^{2} (s (s + 1) | j m_{j} l s ⟩ \end{matrix}

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand $| j m_{j} l s ⟩$

bezüglich des alten Zustandes $| l m s m_{s} ⟩$

entwickelt werden:

| j m_{j} l s ⟩ = \sum_{\begin{matrix} m \\ m_{S} = m_{j} - m \end{matrix}} | l m s m_{s} ⟩ ⟨ l m s m_{s} | j m_{j} l s ⟩

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch-Gordan-Koeffizienten!

⟨ l m s m_{s} | j m_{j} l s ⟩

Dabei gilt:

$s = \frac{1}{2}$ !! $m_{s} = \frac{1}{2}$ !! $m_{s} = - \frac{1}{2}$

$j = l + \frac{1}{2}$	${(\frac{l + m_{j} + \frac{1}{2}}{2 l + 1})}^{\frac{1}{2}}$	${(\frac{l - m_{j} + \frac{1}{2}}{2 l + 1})}^{\frac{1}{2}}$
$j = l - \frac{1}{2}$	$- {(\frac{l - m_{j} + \frac{1}{2}}{2 l + 1})}^{\frac{1}{2}}$	${(\frac{l + m_{j} + \frac{1}{2}}{2 l + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Wobei:

\begin{matrix} j = l \pm \frac{1}{2} \\ m_{j} = m + m_{S} \\ m = - l, ..., + l \\ m_{S} = - \frac{1}{2}, + \frac{1}{2} \end{matrix}

Addition von Drehimpulsen

Navigationsmenü

Suche