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| Allgemein gilt: | | Allgemein gilt: |
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| Sei | | Sei <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> beliebig und |
| <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> | |
| beliebig | |
| | |
| und | |
| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\ | | & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\ |
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| Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art | | Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art |
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| <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> | | <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> |
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| mit | | mit |
| <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> | | <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> |
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| '''Beweis:''' | | '''Beweis:''' |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\ | | & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\ |
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| Beispielhafte Eichfunktion: | | Beispielhafte Eichfunktion: |
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| <math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math> | | <math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math> |
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| Die Lagrangegleichungen lauten: | | Die Lagrangegleichungen lauten: |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ | | & \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ |
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| Es folgt als Bewegungsgleichung | | Es folgt als Bewegungsgleichung |
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| <math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}} | | <math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}} |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion
Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.
Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:
e sei die Ladung
Bewegungsgleichung:
Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ
Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:
Dabei ist Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)
Ziel: Suche eine Lagrangefunktion in der Art, dass
Die Bewegungsgleichung
ergeben.
Ansatz:
Probe:
Weiter:
Somit:
Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen
Eichtransformationen
Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion
:
Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:
Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:
Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.
Die Eichtransformation
mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
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Allgemein gilt:
Sei beliebig und
dann erfüllen die
das hamiltonsche Prinzip
Also:
Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
mit
beliebig.
Beweis:
mit
Einzige Nebenbedingung:
darf nicht explizit von
abhängen.