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| * und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V | | * und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V |
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| Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz ( skleronome Zwangsbed. ): | | Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.): |
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| :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math> | | :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math> |
| ( nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische , homogene Funktion der | | (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der |
| :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math> | | :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>. |
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| Somit: | | Somit: |
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| beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften ! | | beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften! |
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| Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz | | Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz |
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| & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ | | & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V !! | | Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!! |
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| =====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:===== | | =====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:===== |
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| Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert ( Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt: | | Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt: |
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| Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit | | Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit |
| :<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math> | | :<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math>. |
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| Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft ( Scheinkraft): | | Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft): |
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| F(Zentrifugal)= | | F(Zentrifugal)= |
| :<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}</math> | | :<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}</math>, |
| , die den radialen Impuls ändert.
| | die den radialen Impuls ändert. |
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| Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung: | | Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung: |
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| Das System ist skleronom wegen | | Das System ist skleronom wegen |
| :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math> | | :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>, |
| , also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
| | also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V |
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| :<math>\sqrt{2mE}=a,b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math> | | :<math>\sqrt{2mE}=a,b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math> |
| ( bestimmt durch 1. Integral). | | (bestimmt durch 1. Integral). |
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| Als kanonische Gleichungen ergibt sich: | | Als kanonische Gleichungen ergibt sich: |
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| :<math>m\dot{\bar{q}}=\bar{p}-e\bar{A}</math> | | :<math>m\dot{\bar{q}}=\bar{p}-e\bar{A}</math> |
| als kinetischer Impuls ( der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist). | | als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist). |
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| :<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> | | :<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> |
| ist kanonischer Impuls | | ist kanonischer Impuls |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Eine Variable:
Differenziale:
- wegen
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
Mehrere Variablen
Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)
Der 2f- dimensionale Raum
heißt Phasenraum.
Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.
Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion
- wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
- und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):
mit
Dann nämlich ist
(nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der
- .
Somit:
beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!
Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz
folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
Dies läßt sich leicht nachweisen:
Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!
Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:
Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
- .
Aus
folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:
- Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
- Transformation des Radiusvektors
- Aufstellung der Lagrangegleichung:
- Bestimmung der generalisierten Impulse:
- Anschließend Legendre Trafo:
- Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
Beispiele:
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
- Generalisierte Impulse:
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
- Kanonische Gleichungen:
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
- ,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
sind zyklische Variablen
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
Das System ist skleronom wegen
- ,
also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
Die Halbachsen sind:
(bestimmt durch 1. Integral).
Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
ist kanonischer Impuls