Die Dirac Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Kein GFDL

Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die Klein-Gordon-Gleichung

${(\mathfrak{i}{\partial }_t-e\varphi )}^2\mathrm{\Psi }=({(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2+m^2)\mathrm{\Psi }c=\hslash =1$

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\pm \sqrt{{(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2+m^2}+e\varphi )\mathrm{\Psi }$

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }\hat{H}=e\varphi +\underset{\_}{\alpha }(\underset{\_}{\hat{p}}-e\underset{\_}{A})+\beta m$

(1.31)

mit $\underset{\_}{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),\beta$ zu bestimmen.

Ansatz $[\underset{\_}{\alpha },\underset{\_}{p}]=[\beta ,p_i]=0$

Für

$\varphi =\underset{\_}{A}=0$

soll

$\hat{H}=\sqrt{{\widehat{\underset{\_}{p}}}^2+m^2}$

also ${\underset{\_}{\hat{p}}}^2+m^2={(\underset{\_}{\alpha }\underset{\_}{\hat{p}}+\beta m)}^2$.

Vielleicht liefert

${\beta }^2=1,{\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i=0,{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=2{\delta }_{ij}i\in \{1,2,3\}$

(1.32)

die Lösung.

$\underset{\_}{\alpha },\beta$erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

• ${\alpha }_i,\beta$ sollen hermitesch sein ($\hat{H}$soll nur reelle Eigenwerte haben):${\alpha }_i={{\alpha }_i}^{+}\equiv {\left({a_i}^{*}\right)}^T$
• ${\beta }^2={\alpha }_i^2=1\Rightarrow \beta ={\beta }^T={\beta }^{-1}\Rightarrow \beta$unitär, ebenso ${\alpha }_i$ unitär
• Aus
• ${\alpha }_i=-\beta {\alpha }_i{\beta }^{-1}\Rightarrow \underset{\text{Spur}}{\underbrace{Tr}}\left({\alpha }_i\right)=-Tr\left(\beta {\alpha }_i{\beta }^{-1}\right)\underset{\text{zyklische Vertauschung}}{\underbrace{=}}-Tr\left({\alpha }_i\right)\Rightarrow Tr\left({\alpha }_i\right)=0$

analog $\beta =-{\alpha }_i\beta {{\alpha }_i}^{-1}\Rightarrow Tr\left(\beta \right)=0$

• ${\beta }^2={\alpha }_i^2=1\Rightarrow {\alpha }_i,\beta$haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
• Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben ${\alpha }_i,\beta$ grade Dimension
• 2x2 Matrizen tun es nicht:

M P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M komplex 2N² Komplex, hermitesch $M=M^T$ N²(Diagonale)+N²-N=N² $M=M^T,Tr\left(M\right)=0$ $N^2-1$ wegen der Zusatzbedingung $Tr\left(M\right)=0$ Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M=M^T,Tr\left(M\right)=0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right){\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathfrak{i}\\ \mathfrak{i}& 0\\ \end{array}\right){\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)$

(1.33)

darstellen, d.h,

$M=\underset{\_}{p}.\underset{\_}{\sigma }=p_1{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1+p_2{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2+p_2{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,\underset{\_}{\sigma }=\underset{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}{\underbrace{({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_3)}},\underset{\_}{p}=\underset{\in {\mathbb{ℝ}}^3}{\underbrace{(p_1,p_2,p_3)}}$

${{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2=\underset{\_}{\underset{\_}{1}},{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^T={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,Tr\left({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i\right)=0,\{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j\}:={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j-{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i=2{\delta }_{ij}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}$

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

${\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{0}}& {\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i\\ {\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& -\underset{\_}{\underset{\_}{1}}\\ \end{array}\right)$

(1.35)

Es gilt ${{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i}^2=\left(\begin{array}{cc}{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& {{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2\\ \end{array}\right),{\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}}^2=\underset{\_}{\underset{\_}{1}}$(4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem ${\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i={{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i}^T,\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}={\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}}^T,{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i,\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}$unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung $\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\underset{\_}{\alpha }.\widehat{\underset{\_}{p}}-\beta m)\mathrm{\Psi }$

(1.36)

sind 4-komponentige Spinoren

$\mathrm{\Psi }\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_2\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_3\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_4\left(x\right)\\ \end{array}\right),x=(ct,\underset{\_}{x})$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN