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Version vom 18. Juli 2009, 23:57 Uhr

auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $δ S = 0$
Start und Zielpunkt $(q, t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
Zeit wird nicht mitvarieiert $δ t = 0$
Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
$\underline{q} (t), \underline{q^{'}} (t) \in C^{2}$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
unabhängig von Koordinatenwahl
Allgemein

$δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ T - δ A) d t = 0$

mit

$δ A = \sum_{i} {\underline{X}}_{i} δ \underline{r_{i}}$

spezielle Form

holonome Zwangsbedingungen --> generalisierte Koordinaten
konservative Kräfte --> $L = T - V$

führt zur Wirkung $S [q] : = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t$

M1

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

$\begin{aligned} δ S [q] & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L (q, \dot{q}, t) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{aligned}$

oder

$\begin{aligned} δ S [q] & = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + δ q, \dot{q} + δ \dot{q}, t) d t \\ = S [q_{0}] - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\underset{= S [q_{0}]}{\underset{⏟}{L}} + \partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \\ = - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q + \partial_{\dot{q}} L δ \dot{q}) d t \end{aligned}$

mit partieller Integration ( $\int u^{'} v = u v - \int v^{'} u$ ) mit $u = δ q, v = \partial_{\dot{q}} L$

$\partial_{\dot{q}} L δ \dot{q} = d_{t} (\partial_{\dot{q}} L δ q) - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q$

$δ S [q] = - - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q) d t$

$\begin{aligned} δ S [q] = - - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\partial_{q} L δ q - d_{t} (\partial_{\dot{q}} L) δ q) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L δ q d t \end{aligned}$

$(d_{t} \partial_{\dot{q}} - \partial_{q}) L = 0$

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 führt zur Wirkung <math>S\left[ q \right]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q,\dot{q},t \right)dt}</math>
+[[FragenID::M1]]
 =Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen=
+<math>\begin{align}
+   \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\
+ & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt}
+\end{align}</math>
+oder
 <math>\begin{align}
@@ Zeile 24: / Zeile 31: @@
   & =-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt}
 \end{align}</math>
-oder
-<math>\begin{align}
+mit partieller Integration (<math>\int{u'v=uv-\int{v'u}}</math>) mit
-   \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\
+<math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math>
- & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt}
-\end{align}</math>
-mit partieller Integration
 <math>{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q</math>
-[[FragenID::M1]]
+<math>\delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt}</math>
+<math>\begin{align}
+  & \delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\
+ & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt}
+\end{align}</math>
+<math>\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L=0</math>
 [[Kategorie:Mechanik]]

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Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

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