Affinie Abbildung: Unterschied zwischen den Versionen
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Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. | Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. | ||
Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt | Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt | ||
<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math> | :<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math> | ||
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Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. | Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. | ||
Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig. | Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig. | ||
<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math> | :<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math> | ||
Beweis: Man geht den Umweg über p0: | Beweis: Man geht den Umweg über p0: | ||
In jedem affinen Raum gilt: | In jedem affinen Raum gilt: | ||
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& \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\ | & \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\ | ||
& \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\ | & \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\ | ||
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Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math> | Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math> | ||
Zum Vergleich: In der Definition heißt es: | Zum Vergleich: In der Definition heißt es: | ||
<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math> | :<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math> | ||
Aber es geht noch weiter: | Aber es geht noch weiter: | ||
Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math> | Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math> | ||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\ | & \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\ | ||
& \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\ | & \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\ | ||
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 17:07 Uhr
2.1 Definition
Seien affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung gibt so dass für alle Punkte gilt
2.2 Vereinfachung
Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und beliebig.
Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:
Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. Zum Vergleich: In der Definition heißt es:
Aber es geht noch weiter: Sind vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung Beweis: