Affinie Abbildung

2.1 Definition

Seien $(X, T, τ), (Y, V, σ)$ affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung $f : X \to Y$ heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung $g : T_{M} \to V_{M}$ gibt so dass für alle Punkte $p, q \in X$ gilt

\vec{f (p) f (q)} = g (\vec{p q})

2.2 Vereinfachung

Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien $(X, T, τ), (Y, V, σ)$ affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und $q \in X$ beliebig.

f : X \to Y

ist affin

\Leftrightarrow \exists p_{0} \in X : (\exists g : T_{M} \to V_{M} : \vec{p_{0} q} \to \vec{f (p_{0}) f (q)})

Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:

\begin{matrix} (p, q, p_{0}) \in X^{2} \\ \vec{p q} = \vec{p p_{0}} + \vec{p_{0} q} = \vec{p_{0} q} + {(\vec{p_{0} p})}^{- 1} = \vec{p_{0} q} - \vec{p_{0} p} \end{matrix}

Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. $g (\vec{p q}) = g (\vec{p_{0} q}) - g (\vec{p_{0} p}) = \vec{f (p_{0}) f (q)} - \vec{f (p_{0}) f (p)} = \vec{f (p) f (p)} \in V_{M}$ Zum Vergleich: In der Definition heißt es:

f : X \to Y affin \Leftrightarrow \exists g : T_{M} \to V_{M}, t \to g (t) : \forall (p, q) \in X^{2} : \vec{f (p) f (q)} = g (\vec{\underset{t}{\underset{⏟}{p q}}})

Aber es geht noch weiter: Sind $x \in X, y \in Y, g^{'} : T_{M} \to V_{M}$ vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung $f : X \to Y : f (x) = y und g := g^{'}$ Beweis:

\begin{matrix} \forall x^{'} \in X : \vec{f (x) f (x^{'})} = g (\vec{x x^{'}}) \\ \Rightarrow g (\vec{x x^{'}}) + f (x) = f (x^{'}) \end{matrix}

Affinie Abbildung

2.1 Definition

2.2 Vereinfachung

Navigationsmenü

Suche