Rotierendes Pendel: Unterschied zwischen den Versionen
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
Zeile 31: | Zeile 31: | ||
:<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\varphi g=0\Leftrightarrow \ddot{\varphi }L-\dot{\varphi }a\omega \cos \left( \omega t \right)+\varphi g=0</math> | :<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\varphi g=0\Leftrightarrow \ddot{\varphi }L-\dot{\varphi }a\omega \cos \left( \omega t \right)+\varphi g=0</math> | ||
Die (homogene) Lösung ist nun: | Die (homogene) Lösung ist nun: | ||
:<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)+g\varphi =0</math> nach komplexem Ansatz <math>\varphi \left( t \right)=c{{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \dot{\varphi }=c\lambda {{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \ddot{\varphi }=c{{\lambda }^{2}}{{e}^{\lambda t}}</math> | :<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)+ \frac{g} {L}\varphi =0</math> nach komplexem Ansatz <math>\varphi \left( t \right)=c{{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \dot{\varphi }=c\lambda {{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \ddot{\varphi }=c{{\lambda }^{2}}{{e}^{\lambda t}}</math> | ||
Erhält man: <math>{{\lambda }^{2}}-\Omega \lambda +g=0\Rightarrow {{\lambda }_{1,2}}=\frac{\Omega }{2}\pm \sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g}</math>mit <math>\Omega =\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)</math> | Erhält man: <math>{{\lambda }^{2}}-\Omega \lambda +g=0\Rightarrow {{\lambda }_{1,2}}=\frac{\Omega }{2}\pm \sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g}</math>mit <math>\Omega =\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)</math> | ||
Also ist die allgemeine Lösung <math>\varphi \left( t \right)={{c}_{1}}{{e}^{{{\lambda }_{1}}t}}+{{c}_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}=c{{e}^{\left( {{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}} \right)t}}</math>mit <math>{{c}_{1}}={{c}_{2}}^{*}=:c</math> | Also ist die allgemeine Lösung <math>\varphi \left( t \right)={{c}_{1}}{{e}^{{{\lambda }_{1}}t}}+{{c}_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}=c{{e}^{\left( {{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}} \right)t}}</math>mit <math>{{c}_{1}}={{c}_{2}}^{*}=:c</math> |
Aktuelle Version vom 22. Mai 2011, 12:21 Uhr
2 Rotierendes Pendel (12) a Lagrangefunktion mit und da das Koordinatensystem gedreht ist. somit folgt dann ist
b Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:
c Für kleine Auslenkungen gilt:
Die (homogene) Lösung ist nun:
Erhält man: mit Also ist die allgemeine Lösung mit Der Realteil ist also nun ist aber also ist
Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden d Mit folgt:
Zu schwer…