Grundbegriffe der Mechanik

Mechanik Skript zur Vorlesung

von Prof. Dr. Schoell

Verfasser:

Franz- Josef Schmitt

Kapitel 0

Klassische Mechanik im Gegensatz von Relativität, Quantenmechanik und statistischer Mechanik :

beschreibt die Bewegung von Körpern

ist deterministisch ( aus AnfBed berechenbar)

ist kausal ( durch Kräfte verursacht)

Mechanik leistet

einen Überblick über die physikalischen Grundbegriffe

liefert das Paradigma einer physikalischen Theorie ( als mathematisch- geometrische Struktur der Dynamik)

Die Mechanik soll nicht dargestellt sein als Mechanik von mechanischen Systemen aus Massepunkten mit Näherungen und Vernachlässigungen, die zu exakt lösbaren Problemen führen.

Mechanik soll heute den formalen Rahmen betonen

• Symmetrien und Invarianzprinzipien
• geometrische Strukturen
• Nichtlineare Theorie
• Grundlagen für andere Theorien

Die Mechanik soll verallgemeiner, kanonisch formuliert werden

• Lagrangeformalismus: Feldtheorien ( E-Dynamik, Relativität)
• Hamiltonformalismus ( Quantenmechanik und Statistische Mechanik)

Inhalt:

Extremalprinzipien

Differenzialprinzip: dÁlembertsches prinzip

Integralprinzip: Hamiltonsches Prinzip

Hamiltonsche Gleichungen

Mechanik des starren Körpers

Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Grundbegriffe

Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik

Axiome Newtons

• kräftefrei = geradlinig und gleichförmig
• Beschleunigung:

$\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}\propto \overrightarrow{F}$

• actio = reactio
• lineares Superpositionsprinzip ( lineare Superposition von Kräften)

Bemerkungen

Körper = Massepunkt ( empirisch motiviert)

Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung ( Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)

Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik

Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT

Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.( Uhr).

Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.

Experimentell zeigte sich:

Der Raum ist homogen und isotrop ( 3dimensioal und euklidisch)

Zeit ist universell ( unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)

Ereignis:

Dynamische Variable: $\overrightarrow{r}(t)$ ist Bahnkurve, $\overrightarrow{v}(t):=\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}(t)=\dot{\overrightarrow{r}}$ ist Tangentialvektor

1. Newtonsches Axiom:

Es existiert ein Inertialsystem ( operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).

Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen

Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen: $\{K,t\}\to \{K\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{}\}$

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}\stackrel{´}{}(t)+{\overrightarrow{v}}_o(t)\cdot t+{\overrightarrow{s}}_o\\ & t\stackrel{´}{}=t\\ \end{array}$

Dabei bezeichnet ${\overrightarrow{s}}_o$ den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.

Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{r}(t)=\overline{\stackrel{‾}{R}}\overrightarrow{r}\stackrel{´}{}(t)+{\overrightarrow{v}}_o(t)\cdot t+{\overrightarrow{s}}_o\\ & t\stackrel{´}{}=t\\ \end{array}$

wobei $\overline{\stackrel{‾}{R}}$ die Drehmatrix bezeichnet.

Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: Galilei- Invarianz

1. Newtonsches Axiom

$\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}\propto \overrightarrow{F}$ , dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse

man gewinnt die Bewegungsgleichung:

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\frac{d}{dt}\overrightarrow{r})=m\frac{d^2}{{(dt)}^2}\overrightarrow{r}$

Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen

Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen $(t_o,{\overrightarrow{r}}_o):\overrightarrow{r}(t;{\overrightarrow{r}}_o,t_o)$

Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.

1. Newtonsches Axiom

${\overrightarrow{F}}^{(12)}+{\overrightarrow{F}}^{(21)}=0$

Beispiel

Man betrachte 2 Massepunkte in einem Inertialsystem ( ohne äußere Kräfte)

Aus Actio = Reactio folgt sofort die Impulserhaltung: ( die erste Kraft wird von 2 auf 1 ausgeübt!)

$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{F}}^{(12)}=m^{(1)}\frac{d}{{(dt)}^{}}{\overrightarrow{v}}^{(1)}=m^{(1)}{\overrightarrow{a}}^{(1)}\\ & {\overrightarrow{F}}^{(21)}=m^{(2)}\frac{d}{{(dt)}^{}}{\overrightarrow{v}}^{(2)}=m^{(2)}{\overrightarrow{a}}^{(2)}\\ & \to \frac{d}{dt}(m^{(1)}{\overrightarrow{v}}^{(1)}+m^{(2)}{\overrightarrow{v}}^{(2)})=0\\ & \to \frac{d}{dt}({\overrightarrow{p}}^{(1)}+{\overrightarrow{p}}^{(2)})=0\\ & \to {\overrightarrow{p}}^{(1)}+{\overrightarrow{p}}^{(2)}=const\\ \end{array}$

1. Newtonsches Axiom

Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.

Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.

Jedoch ist die Bewegungsgleichung

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\frac{d}{dt}\overrightarrow{r})=m\frac{d^2}{{(dt)}^2}\overrightarrow{r}$

im Allgemeinen nichtlinear ( im Ort, in der Bahnkurve r)

Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszi

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\frac{d}{dt}\overrightarrow{r})\propto \overrightarrow{r}$

Das Newtonsche Gravitationsgesetz ( empirisch)

${\overrightarrow{F}}^{(12)}=-\gamma {m_s}^{(1)}{m_s}^{(2)}\frac{{\overrightarrow{r}}^{(1)}-{\overrightarrow{r}}^{(2)}}{{|{\overrightarrow{r}}^{(1)}-{\overrightarrow{r}}^{(2)}|}^3}$

Dabei ist die schwere Masse stets größer Null und gleich der trägen Masse ( alle Körper fallen gleich schnell).

Die schwere Masse ist Maß für die Kopplungsstärke der gravitativen Wechselwirkung. Die Träge Masse ist Maß für die Fähigkeit eines Körpers, sich dem Einfluss einer Kraft zu widersetzen, also maß für die Kopplungsstärke der Bewegung mit der wirkenden Kraft. Dass schwere und träge Masse gleich sind ist nur experimentelle Erfahrung

Wählt man schwere und träge Masse gleich

${m_t}^{(1)}={m_s}^{(1)}\to \gamma =6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$