Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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$\begin{array}{rl}& ⟨\overline{r}|\hat{\overline{p}}|l,m⟩=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}_{lm}(\overline{r})\\ & ⟨\overline{r}|\overline{r}|l,m⟩=\overline{r}{\mathrm{\Psi }}_{lm}(\overline{r})\\ \end{array}$

$\hat{\overline{L}}=\hat{\overline{r}}\times \hat{\overline{p}}$

ergibt:

$⟨\overline{r}|{\hat{L}}_3|l,m⟩=\frac{\hslash }{i}({\hat{x}}_1{\partial }_2-{\hat{x}}_2{\partial }_1){\mathrm{\Psi }}_{lm}(\overline{r})=\hslash m{\mathrm{\Psi }}_{lm}(\overline{r})$

In Kugelkoordinaten:

$\begin{array}{rl}& x_1=r\sin \vartheta \cos \varphi \\ & x_2=r\sin \vartheta \sin \varphi \\ & x_3=r\cos \vartheta \\ & x_1{\partial }_2-x_2{\partial }_1=\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \end{array}$

Aber:

$\begin{array}{rl}& x_1{\partial }_2-x_2{\partial }_1=\frac{\partial }{\partial \varphi }=\frac{i}{\hslash }{\hat{L}}_z\\ & \Rightarrow {\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \end{array}$

in Kugelkoordinaten!

$\Rightarrow \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }{\mathrm{\Psi }}_{lm}(r,\vartheta ,\varphi )=\hslash m{\mathrm{\Psi }}_{lm}(r,\vartheta ,\varphi )$

Eigenwertgleichung für ${\hat{L}}_3$ .

Lösung

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Psi }}_{lm}(r,\vartheta ,\varphi )=e^{im\varphi }{f}_{lm}(r,\vartheta )\\ & m=-l,...,l\\ \end{array}$

Eindeutigkeit:

$\begin{array}{rl}& e^{im\varphi }=e^{im(\varphi +2\pi )}\\ & \Rightarrow m\in Z\\ \end{array}$

$\Rightarrow$

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen ${\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }$

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen $e^{i\frac{1}{2}\varphi }=-e^{i\frac{1}{2}(\varphi +2\pi )}=e^{i\pi }{e}^{\frac{1}{2}\varphi }$

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

$\begin{array}{rl}& e^{im\varphi }=e^{im(\varphi +2\pi )}\\ & \Rightarrow m\in Z\\ \end{array}$

Leiteroperatoren:

$\begin{array}{rl}& ⟨\overline{r}|{\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩=\frac{\hslash }{i}({\hat{x}}_2{\partial }_3-{\hat{x}}_3{\partial }_2\pm i{\hat{x}}_3{\partial }_1\mp i{\hat{x}}_1{\partial }_3){\mathrm{\Psi }}_{lm}(\overline{r})=\hslash e^{\pm i\varphi }(\pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \varphi }){\mathrm{\Psi }}_{lm}(r,\vartheta ,\varphi )\\ & \hslash e^{\pm i\varphi }(\pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \varphi }){\mathrm{\Psi }}_{lm}(r,\vartheta ,\varphi )=\hslash e^{i(m\pm 1)\varphi }(\pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }-m\cot \vartheta )f_{lm}(r,\vartheta )\\ \end{array}$

Für m=l (Maximalwert) ist

$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}_{+}|l,l⟩=0\\ & \Rightarrow \hslash e^{i(l+1)\varphi }(\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta )f_{ll}(r,\vartheta )=0\\ \end{array}$

Lösung:

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{d{f}_{ll}(r,\vartheta )}{f}=l\underset{}{\overset{}{\int }}\cot \vartheta d\vartheta$

$f_{ll}(r,\vartheta )={(-1)}^l\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}}\frac{1}{2^{l}l!}{(\sin \vartheta )}^l{R}_{ll}(r)$

Mit dem Normierungsfaktor

$\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}}\frac{1}{2^{l}l!}$

Erzeugung der anderen $f_{lm}(r,\vartheta )$

${\mathrm{\Psi }}_{l,l-1}(\overline{r})\propto ⟨\overline{r}|{\hat{L}}_{-}|ll⟩=\hslash e^{i(l-1)\varphi }(-\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta )f_{ll}(r,\vartheta )=\hslash e^{i(l-1)\varphi }{(\sin \vartheta )}^{1-l}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }[{(\sin \vartheta )}^l{f}_{ll}(r,\vartheta ]$

Normierung:

${\mathrm{\Psi }}_{l,m}(r,\vartheta ,\varphi )=R_{lm}(r){Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )$

Mit den Kugelflächenfunktionen

$\begin{array}{rl}& {Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )=\frac{e^{im\varphi }}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{(-1)}^m}{2^{l}l!}\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}}\frac{1}{{(\sin \vartheta )}^m}\frac{d^{l-m}}{d{(\cos \vartheta )}^{l-m}}{(\sin \vartheta )}^{2l}\\ & {Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )=\frac{e^{im\varphi }}{\sqrt{2\pi }}\cdot {(-1)}^m\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}}{P^m}_l(\cos \vartheta )\\ \end{array}$

Wobei

$P_l(x):=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{{\left(dx\right)}^l}{(x^2-1)}^l$

Legendre- Polynom l- ten Grades

${P_l}^m(x):={(1-x^2)}^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{{\left(dx\right)}^m}{P}_l(x)$

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\vartheta \sin \vartheta {[{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )]}^{*}{Y_{l\stackrel{´}{}}}^{m\stackrel{´}{}}(\vartheta ,\varphi )={\delta }_{ll\stackrel{´}{}}{\delta }_{mm\stackrel{´}{}}$

Dies bedeutet:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\vartheta \sin \vartheta {[{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )]}^{*}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )=1$

oder in einer diskreten Basis:

$\sum _{l,m}{\left({Y_l}^m\right)}^{*}{Y_l}^m=1$

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

$F(\vartheta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{c_l}^m{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )$

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

$Y_l{{}^m}^{*}(\vartheta ,\varphi )={(-1)}^m{Y}_l{{}^{-m}}^{}$

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: $\overline{r}\to -{\overline{r}}^{}$ ) , also $(\vartheta ,\varphi )\to (\pi -\vartheta ,\varphi +\pi )$

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände ${|l,m⟩}^{}$

haben die Parität ${(-1)}^l$

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)

Eigenfunktion Knotenlinien von $\mathrm{\Re }\left\{{Y_l}^m\right\}$ l m Bemerkungen/ Parität

${Y_0}^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

${Y_1}^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

${Y_1}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{\pm i\varphi }$

1 1 $\pm 1$ ungerade (ebenfalls p-Orb.)

${\mathrm{\Psi }}_{P_x}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \varphi$

${\mathrm{\Psi }}_{P_y}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \varphi$

${Y_2}^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\vartheta -1)$

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

${Y_2}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta e^{\pm i\varphi }$

2 2 $\pm 1$ gerade (d-Orbitale)

${Y_2}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta e^{\pm 2i\varphi }$

2 2 $\pm 2$ gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

${Y_0}^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$

n=1 à m=0, l=0

Eine Knotenlinie

${Y_1}^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel ${Y_1}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{\pm i\varphi }$

NULL!)

${Y_1}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{\pm i\varphi }$

n=2, l=1, m=$\pm 1$

Zwei Knotenlinien

${Y_2}^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\vartheta -1)$

n=3, l=2, m=0

${Y_2}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta e^{\pm i\varphi }$

n=3, l=2, m=$\pm 1$

${Y_2}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta e^{\pm 2i\varphi }$

n=3, l=2, m=$\pm 2$