Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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\begin{matrix} ⟨ \bar{r} | \hat{\bar{p}} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla Ψ_{l m} (\bar{r}) \\ ⟨ \bar{r} | \bar{r} | l, m ⟩ = \bar{r} Ψ_{l m} (\bar{r}) \end{matrix}

\hat{\bar{L}} = \hat{\bar{r}} \times \hat{\bar{p}}

ergibt:

⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{3} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} ({\hat{x}}_{1} \partial_{2} - {\hat{x}}_{2} \partial_{1}) Ψ_{l m} (\bar{r}) = ℏ m Ψ_{l m} (\bar{r})

In Kugelkoordinaten:

\begin{matrix} x_{1} = r \sin ϑ \cos ϕ \\ x_{2} = r \sin ϑ \sin ϕ \\ x_{3} = r \cos ϑ \\ x_{1} \partial_{2} - x_{2} \partial_{1} = \frac{\partial}{\partial ϕ} \end{matrix}

Aber:

\begin{matrix} x_{1} \partial_{2} - x_{2} \partial_{1} = \frac{\partial}{\partial ϕ} = \frac{i}{ℏ} {\hat{L}}_{z} \\ \Rightarrow {\hat{L}}_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ} \end{matrix}

in Kugelkoordinaten!

\Rightarrow \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ} Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = ℏ m Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ)

Eigenwertgleichung für ${\hat{L}}_{3}$ .

Lösung

\begin{matrix} Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = e^{i m ϕ} f_{l m} (r, ϑ) \\ m = - l, ..., l \end{matrix}

Eindeutigkeit:

\begin{matrix} e^{i m ϕ} = e^{i m (ϕ + 2 π)} \\ \Rightarrow m \in Z \end{matrix}

\Rightarrow

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen ${\hat{L}}_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ}$

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen $e^{i \frac{1}{2} ϕ} = - e^{i \frac{1}{2} (ϕ + 2 π)} = e^{i π} e^{\frac{1}{2} ϕ}$

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

\begin{matrix} e^{i m ϕ} = e^{i m (ϕ + 2 π)} \\ \Rightarrow m \in Z \end{matrix}

Leiteroperatoren:

\begin{matrix} ⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{\pm} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} ({\hat{x}}_{2} \partial_{3} - {\hat{x}}_{3} \partial_{2} \pm i {\hat{x}}_{3} \partial_{1} \mp i {\hat{x}}_{1} \partial_{3}) Ψ_{l m} (\bar{r}) = ℏ e^{\pm i ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} + i \cot ϑ \frac{\partial}{\partial ϕ}) Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) \\ ℏ e^{\pm i ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} + i \cot ϑ \frac{\partial}{\partial ϕ}) Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = ℏ e^{i (m \pm 1) ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} - m \cot ϑ) f_{l m} (r, ϑ) \end{matrix}

Für m=l (Maximalwert) ist

\begin{matrix} {\hat{L}}_{+} | l, l ⟩ = 0 \\ \Rightarrow ℏ e^{i (l + 1) ϕ} (\frac{\partial}{\partial ϑ} - l \cot ϑ) f_{l l} (r, ϑ) = 0 \end{matrix}

Lösung:

\int_{}^{} \frac{d f_{l l} (r, ϑ)}{f} = l \int_{}^{} \cot ϑ d ϑ

f_{l l} (r, ϑ) = {(- 1)}^{l} \sqrt{\frac{(2 l + 1)!}{2}} \frac{1}{2^{l} l!} {(\sin ϑ)}^{l} R_{l l} (r)

Mit dem Normierungsfaktor

\sqrt{\frac{(2 l + 1)!}{2}} \frac{1}{2^{l} l!}

Erzeugung der anderen $f_{l m} (r, ϑ)$

Ψ_{l, l - 1} (\bar{r}) \propto ⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{-} | l l ⟩ = ℏ e^{i (l - 1) ϕ} (- \frac{\partial}{\partial ϑ} - l \cot ϑ) f_{l l} (r, ϑ) = ℏ e^{i (l - 1) ϕ} {(\sin ϑ)}^{1 - l} \frac{\partial}{\partial \cos ϑ} [{(\sin ϑ)}^{l} f_{l l} (r, ϑ]

Normierung:

Ψ_{l, m} (r, ϑ, ϕ) = R_{l m} (r) {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)

Mit den Kugelflächenfunktionen

\begin{matrix} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = \frac{e^{i m ϕ}}{\sqrt{2 π}} \cdot \frac{{(- 1)}^{m}}{2^{l} l!} \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - m)!}{2 (l + m)!}} \frac{1}{{(\sin ϑ)}^{m}} \frac{d^{l - m}}{d {(\cos ϑ)}^{l - m}} {(\sin ϑ)}^{2 l} \\ {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = \frac{e^{i m ϕ}}{\sqrt{2 π}} \cdot {(- 1)}^{m} \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - m)!}{2 (l + m)!}} {P^{m}}_{l} (\cos ϑ) \end{matrix}

Wobei

P_{l} (x) := \frac{1}{2^{l} l!} \frac{d^{l}}{{(d x)}^{l}} {(x^{2} - 1)}^{l}

Legendre- Polynom l- ten Grades

{P_{l}}^{m} (x) := {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2}} \frac{d^{m}}{{(d x)}^{m}} P_{l} (x)

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

\int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d ϑ \sin ϑ {[{Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)]}^{*} {Y_{l \overset{´}{}}}^{m \overset{´}{}} (ϑ, ϕ) = δ_{l l \overset{´}{}} δ_{m m \overset{´}{}}

Dies bedeutet:

\int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d ϑ \sin ϑ {[{Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)]}^{*} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = 1

oder in einer diskreten Basis:

\sum_{l, m} {({Y_{l}}^{m})}^{*} {Y_{l}}^{m} = 1

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

F (ϑ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} {c_{l}}^{m} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

Y_{l} {^{m}}^{*} (ϑ, ϕ) = {(- 1)}^{m} Y_{l} {^{- m}}^{}

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: $\bar{r} \to - {\bar{r}}^{}$ ) , also $(ϑ, ϕ) \to (π - ϑ, ϕ + π)$

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände ${| l, m ⟩}^{}$

haben die Parität ${(- 1)}^{l}$

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)

Eigenfunktion Knotenlinien von $Re {{Y_{l}}^{m}}$ l m Bemerkungen/ Parität

{Y_{0}}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

{Y_{1}}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos ϑ

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

{Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}

1 1 $\pm 1$ ungerade (ebenfalls p-Orb.)

Ψ_{P_{x}} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \sin ϑ \cos ϕ

Ψ_{P_{y}} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \sin ϑ \sin ϕ

{Y_{2}}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} ϑ - 1)

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

{Y_{2}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{15}{8 π}} \sin ϑ \cos ϑ e^{\pm i ϕ}

2 2 $\pm 1$ gerade (d-Orbitale)

{Y_{2}}^{\pm 2} = \sqrt{\frac{15}{32 π}} \sin^{2} ϑ e^{\pm 2 i ϕ}

2 2 $\pm 2$ gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

{Y_{0}}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

n=1 à m=0, l=0

Eine Knotenlinie

{Y_{1}}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos ϑ

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel ${Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}$

NULL!)

{Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}

n=2, l=1, m=

\pm 1

Zwei Knotenlinien

{Y_{2}}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} ϑ - 1)

n=3, l=2, m=0

{Y_{2}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{15}{8 π}} \sin ϑ \cos ϑ e^{\pm i ϕ}

n=3, l=2, m= $\pm 1$

{Y_{2}}^{\pm 2} = \sqrt{\frac{15}{32 π}} \sin^{2} ϑ e^{\pm 2 i ϕ}

n=3, l=2, m= $\pm 2$

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