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| Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. | | Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. |
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| ====Impuls- und Drehimpulserhaltung====
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| Lagrange- Formulierung:
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| :<math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>
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| Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:
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| :<math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{1}} \\
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| {{q}_{2}} \\
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| {{q}_{3}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> Schwerpunktskoordinate <math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{4}} \\
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| {{q}_{5}} \\
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| {{q}_{6}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| Relativkoordinate
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| Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
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| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| & L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei bezeichnet
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| :<math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
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| den Abstand und
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| :<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
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| die relative Masse
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| :<math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| :<math>\bar{R}</math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| :<math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
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| mit k= x,y,z
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| :<math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
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| Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:
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| o.B.d.A:
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| :<math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>
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| Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung
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| :<math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| mit:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
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| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:
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| :<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
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| (Rotationsinvarianz)
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| Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):
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| :<math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>
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| Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
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| :<math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
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| liegen in der Ebene senkrecht zu
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| :<math>\bar{l}</math>
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| (Im Schwerpunktsystem).
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| Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
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| :<math>\begin{align}
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| & x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
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| & y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
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| \end{align}</math>
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| Somit:
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| :<math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
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| Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
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| :<math>\left( r,\phi \right)</math>
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| :<math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>
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| :<math>\phi </math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| :<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>
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| Hier: l = lz, da lx = ly =0
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| Also:
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| :<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| =====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====
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| Geometrische Interpretation von
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| :<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| :
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| Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
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| Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:
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| Für die Fläche gilt:
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| :<math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>
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| Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:
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| :<math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
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| GgoWvv <a href="http://pqkterbuuitz.com/">pqkterbuuitz</a>
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
|
Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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|}}
Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.
Idee:
f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung
- 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
- Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung
Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:
So wäre das Problem vollständig gelöst:
Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.
Beispiel: Zweikörperproblem
2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).
Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung
Zahl der Freiheitsgrade: f=6
Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren
Erhaltungssätze
- V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
=konstant
Der Schwerpunkt:
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.
Dies folgt aus:
M:=m1 + m2
Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
- V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
Es sind drei weitere Integrationskonstanten
gefunden.
- Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:
Eine Integrationskonstante E
Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.
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