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| <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|4}}</noinclude>
| | Unbelievable how well-wrttien and informative this was. |
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| Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
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| :<math>n\ge 3</math>
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| (autonom):
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| <u>'''Seltsamer (chaotischer) Attraktor'''</u>
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| komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
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| '''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:'''
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| '''quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen'''
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| wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-
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| niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)
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| Attraktor: Torus
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| :<math>{{T}^{d}}</math>
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| d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
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| :<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
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| \lim \\
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| T\to \infty \\
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| \end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math>
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| periodisch in
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| :<math>\tau </math>
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| :<math>\to 0</math>
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| für
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| :<math>\tau \to \infty </math>
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| :<math>=0</math>
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| für
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| :<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math>
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| : Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):
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| :<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>
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| diskrete Frequenzen
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| :<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math>
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| b r e i t e s F r e q u e n z b a n d
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| Instabilität der Bewegung bei kleinen
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| Störungen der Anfangsbedingungen
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| typische universelle
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| Bifurkationszenarien
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| <u>'''Def.:'''</u> Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
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| '''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
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| <u>'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''</u>
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| bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
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| :<math>\varepsilon </math>
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| - Röhre um
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| :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
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| <u>'''Aymptotisch bahnstabil:'''</u>
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| Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich
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| <u>'''Ljapunov- stabil'''</u>
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| Für DASSELBE t gilt:
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| :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math>
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| für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
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| Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
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| :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
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| :
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| :<math>\begin{align}
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| & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\
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| & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei:
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| :<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math>
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| Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
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| :<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math>
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| Formale Lösung:
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| :<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math>
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| Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
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| :<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>,
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| also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
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| :<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>
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| <u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u>
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| :<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix}
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| \lim \\
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| t\to \infty \\
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| \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math>
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| Nebenbemerkung: Sei
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| :<math>\lambda </math>
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| der führende (größte) Ljapunov- Exponent
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| :<math>\lambda :=\begin{matrix}
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| \lim \ \sup \\
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| t\to \infty \\
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| \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math>
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| :<math>\Rightarrow </math>
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| :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math>
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| Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
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| :<math>{{e}^{\lambda t}}</math>.
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| Für
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| :<math>\lambda </math>
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| <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
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| :<math>\lambda </math>
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| >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)
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| Für den chaotischen Attraktor im
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| :<math>{{R}^{3}}</math>
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| gilt:
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| Auf dem Attraktor:
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| :<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math>
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| auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
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| :<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math>
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| : Bifurkationspunkte
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| :<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
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| : Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).
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| <u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>
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