Deterministisches Chaos

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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit

n3
(autonom):

Seltsamer (chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)


Attraktor: Torus

Td
d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
f~1024 Autokorrelationsfunktion x(t)x(t+τ):=limT12TTTx(t)x(t+τ)dτ


periodisch in

τ
0
für
τ
=0
für
τ>τc


Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):
S(ω)=12π+x(t)x(t+τ)eiωτdτ


diskrete Frequenzen

ω1,ω2,ω3,...

b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer

ε
- Röhre um
Φ(t,x¯0)


Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

Ljapunov- stabil


Für DASSELBE t gilt:

|Φ(t,x¯0)Φ(t,y¯0)|0
für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve

Φ(t,x¯0)


δx˙i=k=1nFixk(x¯(t),t)δxkFixk(x¯(t),t):=Aik(t)


Dabei:


λk(t)zuAik(t)
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
ξ¯(k)(t)


Formale Lösung:


δx¯(t)=e0tdt´A(t´)δx¯(0)


Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um

x¯0,
also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
pk(t)~pk(0)eλkt


Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten

λ¯k:=limt1tlnpk(t)pk(0)


Nebenbemerkung: Sei

λ

der führende (größte) Ljapunov- Exponent


λ:=limsupt1tln|x¯(t)y¯(t)|
|Φ(t,x¯0)Φ(t,y¯0)|~eλt


Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit

eλt.


Für

λ

<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft


λ

>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im

R3

gilt:

Auf dem Attraktor:

λ¯1>0

auf dem Attraktor: chaotische Bewegung


λ¯2=0
Bifurkationspunkte


λ¯3<0
Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: