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| '''Einsetzen in Poisson- Gleichung:''' | | '''Einsetzen in Poisson- Gleichung:''' |
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| :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | | :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>, |
| , falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
| | falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird. |
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| Man definiere für ein festes | | Man definiere für ein festes |
| :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> | | :<math>\bar{r}\acute{\ }</math>, |
| , dass
| | dass |
| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\ | | & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\ |
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| :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | | :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> |
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| Grund ist , dass die Vertauschung von | | Grund ist, dass die Vertauschung von |
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| sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für | | sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für |
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| , also s=0 ( Singularität!!)
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| Stattdessen für beliebige V: | | Stattdessen für beliebige V: |
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| Dies ist erlaubt, falls der Integrand von | | Dies ist erlaubt, falls der Integrand von |
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| nach der Vertauschung stetig ist !: | | nach der Vertauschung stetig ist!: |
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| , falls
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| :<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math> | | :<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math> |
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| Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist ! | | Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist! |
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| <u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u> | | <u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u> |
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| Die einfache Fourier- Transformierte Form von | | Die einfache Fourier- Transformierte Form von |
| :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>, |
| , nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
| | nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann. |
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| Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung: | | Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung: |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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__SHOWFACTBOX__
Poisson- Gleichung und Greensche Funktion
- in
liefert:
Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:
Entweder:
1)
hinreichend rasch für
oder
2)
sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
Lösung zu 1):
für hinreichend rasch abfallendes
Einsetzen in Poisson- Gleichung:
- ,
falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
Man definiere für ein festes
- ,
dass
Also:
Dies ist aber ein Widerspruch zu
Grund ist, dass die Vertauschung von
- und
sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
- ,
also s=0 (Singularität!!)
Stattdessen für beliebige V:
Nun kann man
- mit
vertauschen.
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
nach der Vertauschung stetig ist!:
Somit:
aber:
- ,
falls
- falls
Somit:
Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!
Greensche Funktion der Poisson- Gleichung
Invertierung
Mit dem Greenschen Operator
Eine Fourier- Transformation von
- liefert
Man kann schreiben:
Die einfache Fourier- Transformierte Form von
- ,
nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
Es gilt:
Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
ist die Greensfunktion dann:
Denn
Für eine beliebige Ladungsverteilung
ist also die Lösung der Poissongleichung
wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.