Poisson- Gleichung und Greensche Funktion

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Poisson- Gleichung und Greensche Funktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
   |}}

__SHOWFACTBOX__


E¯(r¯)=−∇Φ(r¯) in ∇⋅E¯(r¯)=ρ(r¯)ε0

liefert:

ΔΦ(r¯)=−ρ(r¯)ε0

Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson-Gleichung


Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.

Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:

Entweder: 1) Φ(r¯)→0 hinreichend rasch für r→∞

oder

2) Φ(r¯) sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen

Lösung zu 1):

Φ(r¯)=14πε0∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)|r¯−r¯ ´|

für hinreichend rasch abfallendes

ρ(r¯ ´)

Einsetzen in Poisson- Gleichung:

ΔΦ(r¯)=14πε0Δr∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)|r¯−r¯ ´|=14πε0∫R3d3r ´Δrρ(r¯ ´)|r¯−r¯ ´|,
falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.

Man definiere für ein festes r¯ ´, dass

s¯:=r¯−r¯ ´∇r=∇s

Also:

Δr1|r¯−r¯ ´|=∇S(∇S1s)=−∇S1s2s¯s=−1s3∇Ss¯−s¯∇S1s3∇Ss¯=3⇒Δr1|r¯−r¯ ´|=−1s3∇Ss¯−s¯∇S1s3=−3s3+1s3=0

Dies ist aber ein Widerspruch zu ΔΦ(r¯)=−ρ(r¯)ε0

Grund ist, dass die Vertauschung von

Δr und ∫R3d3r ´

sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für

r¯=r¯ ´,
also s=0  (Singularität!!)

Stattdessen für beliebige V:


Nun kann man

∮∂Vdf¯⋅∇r mit ∫R3d3r ´

vertauschen. Dies ist erlaubt, falls der Integrand von

∫R3d3r ´

nach der Vertauschung stetig ist!:

∫Vd3rΔΦ(r¯)=14πε0∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)∮∂Vdf¯⋅∇r1|r¯−r¯ ´|∇r1|r¯−r¯ ´|=−(r¯−r¯ ´)|r¯−r¯ ´|3

Somit:

∫Vd3rΔΦ(r¯)=14πε0∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)∮∂Vdf¯⋅∇r1|r¯−r¯ ´|=−14πε0∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)∮∂Vdf¯r¯−r¯ ´|r¯−r¯ ´|3∮∂Vdf¯r¯−r¯ ´|r¯−r¯ ´|3=∫dΩ

aber:

∮∂Vdf¯r¯−r¯ ´|r¯−r¯ ´|3=∫dΩ=4π,
falls
r¯ ´∈V
∮∂Vdf¯r¯−r¯ ´|r¯−r¯ ´|3=∫dΩ=0 falls r¯ ´∉V

Somit:

∫Vd3rΔΦ(r¯)=14πε0∫R3d3r ´ρ(r¯ ´)∮∂Vdf¯⋅∇r1|r¯−r¯ ´|=−1ε0∫Vd3r ´ρ(r¯ ´)

Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:

Δr1|r¯−r¯ ´|=−4πδ(r¯−r¯ ´)

Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!


Greensche Funktion der Poisson- Gleichung


ΔΦ(r¯)=−ρ(r¯ ´)ε0⇒

Invertierung

⇒Φ(r¯)=Ĝρ(r¯ ´)

Mit dem Greenschen Operator Ĝ:

Eine Fourier- Transformation von

ΔΦ(r¯)=−ρ(r¯ ´)ε0⇒ liefert −k2Φ~=−ρ~ε0⇒

Man kann schreiben:

Φ~=Ĝ~ρ~Ĝ~:=1ε0k2

Die einfache Fourier- Transformierte Form von

⇒Φ(r¯)=Ĝρ(r¯ ´),
nur dass der Fourier- transformierte Greens-Operator angegeben werden kann.

Die Rücktransformation löst dann die Poisson-Gleichung:

⇒Φ(r¯)=∫d3r ´Ĝ(r¯−r¯ ´)ρ(r¯ ´)

Es gilt:

ΔrĜ(r¯−r¯ ´)=−1ε0δ(r¯−r¯ ´)

Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an

r¯ ´

Insbesondere bei speziellen Randbedingungen

limr¯→∞Φ(r¯)=0

ist die Greensfunktion dann:

G(r¯−r¯ ´)=14πε01|r¯−r¯ ´|

Denn

ΔrG=Δ14πε01|r¯−r¯ ´|=−1ε0δ(r¯−r¯ ´)

Für eine beliebige Ladungsverteilung ρ ist also die Lösung der Poissongleichung

Φ(r¯)=∫−∞∞14πε0ρ(r¯ ´)|r¯−r¯ ´|d3r ´=∫−∞∞G(r¯−r¯ ´)ρ(r¯ ´)d3r ´

wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen

limr¯→∞Φ(r¯)=0

gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.

Abgerufen von „https://wiki.physikerwelt.de/w/index.php?title=Poisson-_Gleichung_und_Greensche_Funktion&oldid=2077“