Formaler Aufbau der Quantenmechanik: Unterschied zwischen den Versionen
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für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math> | für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math> | ||
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math> | # n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math> | ||
:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen. | :<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen. | ||
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist | Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist | ||
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mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird. | mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird. | ||
Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt | Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt | ||
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Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit | Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit | ||
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:<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math> | :<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math> | ||
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à Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math> | |||
Alternativer Lösungsweg: Ansatz | Alternativer Lösungsweg: Ansatz | ||
:<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math> | :<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math> | ||
in (siehe b) | in (siehe b) | ||
# Rotierende B-Feld | # Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen | ||
Hier | Hier | ||
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Version vom 12. September 2010, 23:40 Uhr
Kein GFDL | Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator
mit den OperatorenOrtsoperator (Ort) (ImpulsImpulsoperator), einer Unschärferelation
und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.
Hilbertraum
Definition (2.3)
- Ein Hilbertraum ist ein vollständiger unitärer Raum.
Definition (2.4)
Norm heißt unitärer Raum.
Definition (2.5)
- Eine Norm' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung , so dass für gilt '
Definition (2.6)
- Ein Skalarprodukt' eines Vektorraums V ist eine Abbildung , so dass für gilt: '
Definition (2.7)
- Ein Folge in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, falls ganz so dass .
Definition (2.8)
- Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum.
Beispiele:
- Hilbertraum , n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis .
- Hilbertraum der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
Skalarprodukt
(AUFGABE):
- Definiere mit
- bestimme N so dass
- Beweise die Formel
- Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung für
Definition: vollständiges Orthogonalsystem eins HR
Satz (Parseval)
Bemerkung:
- Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum (haben kein Skalarprodukt)
- Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel
Dirac-Notation
Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte etc. eines Hilbertraum
Zustände - „Ket“, „Dirac-Ket“
(2.12)
- Skalarprodukt von
- VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation für Basis
„vollständige Eins“ (2.13)
- Dualraum und Bra-Zustände
Dualraum eines Hilbertraum : Raum aller linearen Funktionale
Vektor als Funktional aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von engl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im :
- alsKets: normale Vektoren
- alsBras: als Abbildung, z.B. Projektion auf 3-Achse Basis für Dualraum , d.h. jedes Funktional (Projektion) als Linearkombination
- „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
- „Einschieben der Eins“
Operatoren in der Quantenmechanik
Definition: Ein linearer Operator' ( Hilbertraum), erfüllt
'Beispiele:
- ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.
Definition Der Erwartungswert eines Operators im Zustand ist
Definition (2.17)
- Matrixelement eines Operators
Beispiele Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.
Definition (2.18)
- Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operatoradjungierter Operator' A+ ist definiert durch '
Definition (2.19)
- Ein linearer Operator heißt hermitesch (selbstadjungiert)[1], wenn
Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.
für nichtrelativistische Teilchen der Masse
- Ort , Impuls , DrehimpulsDrehimpuls
- Spin ½ (Helizität) in Richtung für Dirac-Teilchen,
vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung von Operatoren nach seinen Eigenzuständen, d.h.
mit dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert an aufgespannt wird. Falls an nicht entartet, gilt
normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand sind die Eigenwerte an, die mit Wahrscheinlichkeit
auftreten. Wird an gemessen, so geht instantan in über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).
Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem
Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts und
Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System
Im Matrix- Schreibweise als Qubit im Hilbertraum
Den (komplizierten) Tunneleffekt bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential“ in , d.h. durch den
Tunnel-Operator (2.25)
Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe
AUFGABEN…
Zeitentwicklung in der Quantenmechanik
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form
Hier ist
zeitabhängig und auch der Hamiltonian
kann zeitabhängig sein, z.B. (zeitabhängiges Potential)
Zeitunabhängiger Hamiltonian
In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch
als Anfangswertproblem mit dem
Û ist unitär, , denn ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung
ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â
Wir haben
also
Bemerkung: Skalarprodukt: Mathematiker:
Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung
- „Schrödinger-Bild“ Operatoren fest, Zustände zeitabhängig
- „Heisenberg-Bild“ Zustand fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig
Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung
Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg (2.31)
Häufig schreibt man, falls die Operatoren bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.
so dass (CHECK)
Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR
Die meisten Fälle mit zeitabhängigem sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir
zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den -Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld
- Hilbertraum hier
- (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung
- (1.44)
mit Konstante und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade
in Dirac-Schreibweise
mit (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf ) und . Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)
kann für zeitabhängige i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden
(CHECK) à Zeitentwicklung mit Alternativer Lösungsweg: Ansatz
in (siehe b)
- Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen
Hier
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“
Nichttriviale Lösung von (2.39) für
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für
für entsprechen: Koeffizienten für hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für und diskutieren.
- ↑ i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)