Formaler Aufbau der Quantenmechanik: Unterschied zwischen den Versionen

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für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>
für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>
:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen.
:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>ist
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>ist
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mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird.
mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird.
Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt
Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt
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Axiom:
Axiom:
Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit
Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit
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:<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math>
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(CHECK)
(CHECK)
Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math>
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Alternativer Lösungsweg: Ansatz
Alternativer Lösungsweg: Ansatz
:<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math>
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in  (siehe b)
in  (siehe b)
# Rotierende B-Feld Rabi-Oszillationen
# Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen
Hier
Hier
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Version vom 12. September 2010, 23:40 Uhr

Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.


Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator

[x_,p_]=i
     (2.1)


mit den OperatorenOrtsoperator x^(Ort) p^(ImpulsImpulsoperator), einer Unschärferelation

ΔxΔp2
     (2.2)


und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. Ψ(x_)beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.

Hilbertraum

Definition      (2.3)
Ein Hilbertraum ist ein vollständiger unitärer Raum.
Definition      (2.4)
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt Φ|Ψ und (induzierter)

Norm Ψ:=Ψ|Ψ heißt unitärer Raum.

Definition      (2.5)
Eine 'Norm' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung V+, so dass für Ψ,ΦV gilt
  1. Ψ0,Ψ=0Ψ=0
  2. cΨ=cΨ,c
  3. Ψ+ΦΨ+Φ
Definition      (2.6)
Ein 'Skalarprodukt' eines Vektorraums V ist eine Abbildung (V,V), so dass für ψ,ϕ,χVgilt:
ψ|ψ0ψ+ϕ|χ=ψ|χ+ϕ|χψ|cϕ=cψ|ϕcψ|ϕ=ϕ|ψ*=ϕ|ψ
Definition      (2.7)
Ein Folge {Ψn}in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, falls ε>0N(ε) ganz so dass n,m>N(ε)ΨnΨm<ε.
Definition      (2.8)
Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum.

Beispiele:

  1. Hilbertraum =n, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis e_1=(100)e_2=(010)...e_n=(001).
  2. Hilbertraum Lder quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
Ψ(x_)

auf x[0,L],Ψ(0)=Ψ(L)=0

2mΨ'n(x)=EnΨn(x)
Basis
Ψn(x)=2Lsin(nπxL),En=(nπ)22mL2,n
     (2.9)


Skalarprodukt

Ψ|Φ=0LΨ*(x)Φ(x)dxΨn|Ψm=δmn

vergleich mit y_=n=1de_n|y_e_nky_n

(AUFGABE):

  1. Definiere ΦLmit Φ(x)=Nx(Lx)
  2. bestimme N so dass Φ=1
  3. Beweise die Formel π332=k=0(1)k(2k+1)3
  4. Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung |α|β|αbfür |α,|β

Definition: {Ψn} vollständiges Orthogonalsystem eins HR

Ψn|Ψn=δnn

und Φ=nΨn|ΦΨnΦ

     (2.10)



Satz (Parseval)

Φ=nΨn|ΦΨnΦ2=n|Ψn|Φ|2
     (2.11)

Bemerkung:

  • Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum (haben kein Skalarprodukt)
  • Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel

Dirac-Notation

Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte Ψ|Φetc. eines Hilbertraum

Zustände Φ|Φ
  1. „Ket“, „Dirac-Ket“
     (2.12)
  1. Skalarprodukt von Ψ und ΦΨ|Φ=Φ|Ψ*
  2. VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation für Basis Ψn|n
|Φ=nn|Φ|n|Φ=n|nn|1_Φ
vollständige Eins
1_=|nn|
     (2.13)
  1. Dualraum und Bra-Zustände

Dualraum *eines Hilbertraum : Raum aller linearen Funktionale

Ψ|:,|ΦΨ|Φ
     (2.14)

Vektor |Ψals Funktional Ψ|aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von Ψbra|Φketengl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im 3:

  1. |ΦialsKets: normale Vektoren
  2. Φi|alsBras: als Abbildung, z.B. Φ3|:|Φ3Φ3|ΦProjektion auf 3-Achse Φ1|,Φ2|,Φ3| Basis für Dualraum 3, d.h. jedes Funktional f| (Projektion) als Linearkombination c1Φ1|+c2Φ2|+c3Φ3|f|
  3. „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
  4. Φ2=Φ|Φ=Φ|1_|Φ=nΦ|nn|Φ=n|n|Φ|2
  5. Einschieben der Eins

Operatoren in der Quantenmechanik

Definition: Ein 'linearer Operator' A^: ( Hilbertraum), erfüllt

A^(|Ψ+c|Φ)=A^|Ψ+cA^|Φ
     (2.15)

Beispiele:

  1. Ortsoperatorx^ Impulsoperator p^=i_

für =L:x^:Ψ(x)xΨ(x)p^:Ψ(x)iΨ(x)

  1. n x n-Matrizen auf 2
2ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.

Definition Der Erwartungswert eines Operators A^im Zustand |Ψist

A^Ψ:=Ψ|A^ΨΨ|Ψ:=Ψ|A^|ΨΨ|Ψ
     (2.16)
Definition      (2.17)
Matrixelement eines Operators n|A^|m

Beispiele |nΨn(x)Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

A^=x^2

Dann ist x^n=Ψn*(x)x2Ψn(x)dx=x2|Ψ(x)|2Wahrscheinlichkeitsdichtedx

Definition      (2.18)
Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operator'adjungierter Operator' A+ ist definiert durch
Ψ|AΦ=A+Ψ|ΦΨ,Φ
Definition      (2.19)
Ein linearer Operator heißt hermitesch (selbstadjungiert)[1], A+=A wenn
Ψ|AΦ=AΨ|ΦΨ,Φ

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.

  • Energie Hamiltonoperator
H^=p^22m+V(r_)
     (2.20)

für nichtrelativistische Teilchen der Masse

12n^Σ=12(n^σ_00n^σ_)

vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung von Operatoren A^nach seinen Eigenzuständen, d.h.

A^|n=an|nA^=nanP^n
     (2.21)

mit P^ndem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert an aufgespannt wird. Falls an nicht entartet, gilt

P^n=|nn|,

|nnormiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand |Ψ sind die Eigenwerte an, die mit Wahrscheinlichkeit

prob(an)=Ψ|P^n|ΨΨ|Ψ      (2.22)

auftreten. Wird an gemessen, so geht |Ψinstantan in Pn|ΨΨ|Pn|Ψ über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).

Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem

Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts εLund εR

Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System

H^0=εL|LL|+εR|RR|
     (2.23)

Im Matrix- Schreibweise als Qubit im Hilbertraum =2

|L=(10);|R=(01);H^0=(εL00εR)
     (2.24)

Den (komplizierten) Tunneleffekt bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives PotentialV^in , d.h. durch den

Tunnel-Operator V^=Tc(0110)=Tcσx
     (2.25)

Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe

H^=H^0+V^
     (2.26)

AUFGABEN…

Zeitentwicklung in der Quantenmechanik

Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form

it|Ψ(t)=H^(t)|Ψ(t)
     (2.27)

Hier ist

|Ψ(t)

zeitabhängig und auch der Hamiltonian

H^(t)

kann zeitabhängig sein, z.B. H^=p22m+V(x,t) (zeitabhängiges Potential)

Zeitunabhängiger Hamiltonian

In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch

|Ψ(t)=eiH^(tt0)|Ψ(t0),t>t0
     (2.28)

als Anfangswertproblem mit dem

U^(t,t0)=eiH^(tt0)t>t0
     (2.29)

Û ist unitär, U^1=U^+, denn H^=H^+ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung

|Ψ(t)=U^(t,t0)|Ψ(t0)

ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â

A^0:=A^|Ψ(0)=Ψ(0)|A^|Ψ(0)
zur Zeit t0=0 (|Ψ(0) normiert.)
A^t:=A^|Ψ(t)=Ψ(t)|A^|Ψ(t)
zur Zeit t0>0

Wir haben

A^t=Ψ(0)eiH^t|A^|eiH^tΨ(0)=Ψ(0)|eiH^tA^eiH^t|A~Ψ(0)

also

A~(t):=eiH^tA^eiH^t

(Zeitentwicklung von Operator

A^

im Heisenbergbild)

     

Bemerkung: KetB^|ΨΨ|B^+Bra Skalarprodukt: Mathematiker:

(|Ψ,|Φ)Ψ|Φ
Physiker-Notation

Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung

  1. Schrödinger-Bild“ Operatoren A^fest, Zustände zeitabhängig
  2. |Ψ(t)=U^(t,t0)|Ψ(t0)
  3. Heisenberg-Bild“ Zustand |Ψ(t0)fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängigA^(t)=U^+(t,t0)A^U^(t,t0)

Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung

Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg
dtA^(t)=i[H^,A^(t)]
     (2.31)

Häufig schreibt manA^H(t), falls die Operatoren A^bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.

A^=A^(t)A^t=Ψ(t)|A^(t)|IntrinsischΨ(t)=Ψ(0)|eiH^tA^eiH^t|A^H(t)Ψ(0)
     (2.32)

so dass (CHECK)

dtA^H(t)=i[H^,A^(t)]+eiH^tdtA^(t)intrinsischeiH^t
     (2.33)


Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR

Die meisten Fälle mit zeitabhängigem H^(t)sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir

H^(t)=B_(t)σ_=(Bz(t)B||*(t)B||*(t)Bz(t))B||(t)=Bx(t)+iBy(t)
     (2.34)

zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den σ_-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld

mit Konstante e2m1 und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade

φ(x_,t)=Ψ(x_,t)Orts-WF(χ1(t)χ2(t))Spin-WF
     (2.35)

in Dirac-Schreibweise

|φ(t)=|Ψ(t)|χ(t)=OrtSpin
     (2.36)

mit Ort=L2(3) (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf 3) und Spin=2. Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)

it|χ(t)=H^(t)|χ(t)iχ˙1=Bzχ1B||*χ2iχ˙2=B||χ1Bzχ2      (2.37)

kann für zeitabhängige B||,Bz i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden

  1. B_=constquantenmechanische Ozillatoren

Eigenwerte von H^ sind

ε±=±|B_||B_|=Bz2+|B|||2

(CHECK) à Zeitentwicklung U(t,0)=eiH^t=SeiDtS1mit D=diag(ε+,ε) Alternativer Lösungsweg: Ansatz

χj(t)=cjeizt

in (siehe b)

  1. Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen

Hier

Bz=B0=constB||=B1eiωt=B1cosωtBx+iB1sinωtByB1
     (2.38)


B||

rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“

χ1=c1eiztiω2t(z+ω2)c1=B0c1+B1c2χ2=c2eizt+iω2t(zω2)c1=B1c1B0c2      (2.39)

Nichttriviale Lösung von (2.39) für

0=|z+ω2B0B1B1zω2+B0|=z2(B0ω2)2B12z±=±(B0ω2)2+B12=±12ΩR
mit
ΩR:=(2B0ω)2+4B12
     (2.40)

Damit zwei linear unabhängige Lösungen für χ2(t),χ1(t)

χ2(t)=c+ei(ω2+ΩR2)t+cei(ω2ΩR2)tc±=eiωt{αcosΩR2+βsinΩR2}α,β
     (2.41)

für χ1(t) entsprechen: Koeffizienten für χ2(t),χ1(t) hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für χ1(0)=0,χ2(0)=1 und diskutieren.

  1. i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)