Symplektische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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Einrückungen Mathematik
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Vektor der Ableitungen
Vektor der Ableitungen
<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align}
:<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align}
   & {{\partial }_{q}}H \\  
   & {{\partial }_{q}}H \\  
  & {{\partial }_{p}}H \\  
  & {{\partial }_{p}}H \\  
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Metrik im Phasenraum
Metrik im Phasenraum
<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix}
:<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
   -1 & 0  \\
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=symplektisches Skalarprodukt=
=symplektisches Skalarprodukt=


<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>
:<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>
Eigenschaften:
Eigenschaften:
* schiefsymmetrisch
* schiefsymmetrisch
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=erzeugende Kanonische Trafo=
=erzeugende Kanonische Trafo=


<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math>
:<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math>


analog  
analog  




<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\  
   & {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\  
  & {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\  
  & {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\  
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also Insgesamt  
also Insgesamt  


<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math>
:<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math>
  mit  
  mit  


<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align}
:<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align}
   & \underline{Q} \\  
   & \underline{Q} \\  
  & \underline{P} \\  
  & \underline{P} \\  
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<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\  
   & {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\  
  & J={{M}^{T}}JM \\  
  & J={{M}^{T}}JM \\  
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aus LA folgt
aus LA folgt


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\  
   & \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\  
  & {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}   
  & {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}   
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Version vom 12. September 2010, 19:23 Uhr

ψ_:=(q_p_)}2f

Vektor der Ableitungen

H_ψ=(qHpH)

Metrik im Phasenraum

J__=(0110)

symplektisches Skalarprodukt

x_,y_=x_TJ__y_

Eigenschaften:

  • schiefsymmetrisch
  • bilinear
  • nicht entartet

erzeugende Kanonische Trafo

M1(q,Q,t):p=qM1,P=QM1piqk=2M1Qkqi=Pkqi

analog


M2(q,P,t)M3(p,Q,t)M4(p,P,t)

also Insgesamt

ψ_Mϕ_
mit 
ϕ_:=(Q_P_)}2f

Eigenschaften der Trafo

M1=J1MTJJ=MTJMdet(M)=1

aus LA folgt

ϕ˙_=M1ψ˙_H_ϕ=MTH_ψ