Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 20. Juli 2009, 10:38 Uhr

klassische Mechanik

Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik

--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten

Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
Lösungen Trajektorien im Phasenraum

Satz von Liouville

Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung --> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen --> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen $I (t_{1}) \geq I (t_{2})$ mit $t_{1} < t_{2}$

Zustand

$⟨ M^{ν} ⟩ = \int d ξ ρ (ξ) M^{ν} (ξ)$ (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen $ρ (ξ) = \exp (ψ - λ_{ν} M^{ν} (ξ)) = z^{- 1} \exp (- λ_{ν} M^{ν} (ξ))$ mit $z = e^{- ψ} = \int e^{- λ_{ν} M^{ν} (ξ)} d ξ$

Shannon-Information

$I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} \leq 0$
Information: Welches Ereignis tritt ein?
Wie viel weiß ich von meinem System?
Maximum $I (P) = 0$ --> schafte Verteilung $P_{i} = δ_{i j}$

minimum

Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- > $I (P) < 0$ Variation der $P_{i}$ um $δ P_{i}$

mit 1 Nebendbedingung $\sum_{i} P_{i} = 1$ führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters $λ$ zu

$I (P) = \sum P_{i} \ln P_{i} + λ (P_{i} - 1)$

die Variation, also $δ I (P) = \sum (\ln P_{i} + 1) δ P_{i}$

lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen

$(\ln P_{i}) = - (λ + 1) = const.$

so erhält man wegen der Normierung ( $\sum_{i} P_{i} = 1$ ) die

Gleichverteilung $P_{i} = \frac{1}{N}$

Nebenbedingungen

führt zum Informationstheoretischen Prinzip nach Jaynes
Wahrscheinlichkeitsverteilung die die minimale Information enthält bei Erfüllung aller bekannten Nebenbedingungen
Variationsverfahren mit Nebenbedingungen
Shannon-Information $I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} \leq 0$ soll minimal werden
Es gibt m+1 Nebenbedingungen:
- Gesamtwahrscheinlichkeiten sind 1
- Kenntnis von $ν$ mittelwerte makroskopischer Observabelen

durch eine Legenderetransformation $I (P) \to I (λ)$

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 <math>z={{\operatorname{e}}^{-\psi }}=\int{{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi  \right)}}d\xi }</math>
 ==Shannon-Information==
-<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math>
+*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math>
-Information: Welches Ereignis tritt ein?
+*Information: Welches Ereignis tritt ein?
-Wie viel weiß ich von meinem System
+*Wie viel weiß ich von meinem System?
-Maximum<math>I\left( P \right)=0</math> --> schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>
+*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> --> schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>
+===minimum===
+*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math>
-Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der P_i um<math>\delta {{P}_{i}}</math>mit 1 Nebendbedingung<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung  eines Lagrange-Parameters<math>\lambda =-\left( \psi +1 \right)</math> zu
+mit 1 Nebendbedingung <math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung  eines Lagrange-Parameters<math>\lambda</math> zu
 <math>I\left( P \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left( {{P}_{i}}-1 \right)}</math>
-die Variation<math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math>
+die Variation, also <math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math>
-Also Wahl der N-m-1 freien Parameter möglich durch<math>0=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}-\psi +{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)\delta {{P}_{i}}}</math>
-so erhält man die [[verallgemeinerte kanonische Verteilung]]
-<math>{{P}_{i}}=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)</math>
+lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen
-<math>\ln \left( {{P}_{i}} \right)=-\left( \lambda +1 \right)=const</math>
+<math>\left( \ln {{P}_{i}} \right)=- \left( \lambda +1 \right)=\text{const.}</math>
-für Gleichverteilung<math>{{P}_{i}}=\frac{1}{N}</math>
-durch eine Legendere trafp <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda  \right)</math>
+so erhält man wegen der Normierung (<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math>) die
+Gleichverteilung<math>{{P}_{i}}=\frac{1}{N}</math>
+==Nebenbedingungen==
+* führt zum Informationstheoretischen Prinzip nach Jaynes
+* Wahrscheinlichkeitsverteilung die die minimale Information enthält bei Erfüllung aller bekannten Nebenbedingungen
+* Variationsverfahren mit Nebenbedingungen
+* Shannon-Information <math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}\le 0</math> soll minimal werden
+* Es gibt m+1 Nebenbedingungen:
+** Gesamtwahrscheinlichkeiten sind 1
+** Kenntnis von <math>\nu</math> mittelwerte makroskopischer Observabelen
+durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda  \right)</math>
 [[Kategorie:Thermodynamik]]

Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

klassische Mechanik

Satz von Liouville

Zustand

Shannon-Information

minimum

Nebenbedingungen

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klassische Mechanik

Satz von Liouville

Zustand

Shannon-Information

minimum

Nebenbedingungen

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