Master Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 7. September 2009, 21:22 Uhr

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H = H_{S} + H_{B} + H_{I}$ bestehend aus

System $H_{S}$
Umgebung $H_{B}$
WW $H_{I}$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

links $^{L} H_{B} = \sum_{k}^{L} ε_{k}^{L} N_{k}$
und rechts $^{R} H_{B} = \sum_{k}^{R} ε_{k}^{R} N_{k}$ zuammen mit $^{X} N_{k} =^{X} a_{k}^{+}^{X} a_{k}$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen $H_{I} =_{S}^{L} H_{I} +_{S}^{R} H_{I} +_{L}^{S} H_{I} +_{R}^{S} H_{I}$

Von Links ins System $_{S}^{L} H_{I}$
Vor Rechts ins System $_{S}^{R} H_{I}$
Vom System nach Links $_{L}^{S} H_{I}$
Vom System nach Rechts $_{R}^{S} H_{I}$

mit $_{S}^{X} H_{I} = \sum_{k, i}^{X} {V_{k}}^{X} a_{k}^{†} e_{i}$ und $_{X}^{S} H_{I} = \sum_{k, i}^{X} {V_{k}}^{X} a_{k} e_{i}^{†}$

$e_{i}$ erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. $e_{i}^{†}$ vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

$\tilde{A} (t) : = U_{0}^{†} A U_{0}$

mit  $U_{0} = \exp (- i H_{0} t)$

und $H_{0} = H_{S} + H_{B}$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\mathfrac“): {\displaystyle \dot \rho = - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]}

(mit der Lösung

$ρ (t) = U^{†} ρ_{0} U$

mit $U = \exp (- i H t)$

Beweis

$\partial_{t} U = - i H U$

sowie

$\partial_{t} U^{†} = i H U$

Dann ist $d_{t} ρ = \underset{- i [H, ρ]}{\underset{⏟}{- i H U ρ_{0} U^{†} + U ρ_{0} i H U^{†}}} + \underset{0}{\underset{⏟}{U (\partial_{t} ρ_{0}) U^{†}}}$

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 ==Transformation ins WW-Bild==
 Operator ins WWBild
-<math>\begin{align}
-  & \tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}} \\
+<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
-  & {{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{S}}t \right) \\
+  mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
-\end{align}</math>
+und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>
+Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]
+<math>
+\dot \rho  =  - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>
+(mit der Lösung
+<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>
+mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math>
+Beweis
+<math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math>
+sowie
+<math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>
+Dann ist
+<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho  \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>

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Transformation ins WW-Bild

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