Kontinuitätsgleichung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:

$Q(t)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)$

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

${\frac {d}{dt}}Q(t)={\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}\delta I$

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$\delta I={\frac {\rho dV}{dt}}={\frac {\rho \left|v\right|dt\left|df\right|\cos \alpha }{dt}}=\rho {\bar {v}}d{\bar {f}}$

Also gerade die Ladung, die durch $d{\bar {f}}$pro zeit aus V herausströmt

Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: ${\bar {j}}({\bar {r}},t):=\rho ({\bar {r}},t){\bar {v}}({\bar {r}},t)$

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$\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)$

(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als lokaler Erhaltungssatz:

$\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ({\bar {r}},t)+\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$

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Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:

$\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$

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Aber: natürlich muss deswegen nicht ${\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$ gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!