Quantentheoretischer Zugang

Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Datei:Particle in a box wavefunctions.svg

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz $\mathrm{\Delta }ϵ$ $V=L^3$ (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. $H=\frac{p^2}{2m}+V_{Kasten}\left(\overrightarrow{r}\right)$ für unendlich hohe Wände Einteilchenfunktion ${\phi }_n\left(\overrightarrow{r}\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_x\pi }{L}x\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_y\pi }{L}y\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_z\pi }{L}z\right)$ mit $\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z);n_i=1,2,...$ und Energieeigenwerten ${\epsilon }_n=\frac{\hslash {\pi }^2}{2m{L}^2}({n_x}^2+{n_y}^2+{n_z}^2)$ Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert ${\phi }_n\left(\overrightarrow{r}\right)=⟨\overrightarrow{r}|n⟩\to |n⟩$(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen ${\phi }_n(x=0,y,z)={\phi }_n(x=L,y,z)\mathrm{\forall }{x}_i$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: $e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}=e^{i\overrightarrow{k}.(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{L})},\overrightarrow{L}=(L,L,L)\\ & \Rightarrow e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}=1\text{ w }\ddot{\mathrm{a}}\text{ hlen}\\ & \Rightarrow k_i=(k_x,k_y,k_z):k_i=\frac{2\pi }{L}{m}_i,m_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ \end{array}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: $\begin{array}{rl}& {\phi }_{\overrightarrow{k}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}},k_i=\frac{2\pi }{L}{m}_i,m_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ & \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\sum _i{k}_i{x}_i\\ \end{array}$ man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum _{\text{Zust }\ddot{\mathrm{a}}\text{ nde}}...\triangleq \sum _{\text{k }{}^{\prime }\text{ s}}...$

${\sum }_{\overrightarrow{k}\in \text{3-Dim Raum}}=\sum _{\text{k}}\frac{{\mathrm{\Delta }}^{\text{3}}k}{\underset{\mathrm{\Delta }{k}_{x\mathrm{\Delta }}\mathrm{\Delta }{k}_y\mathrm{\Delta }{k}_z}{\underbrace{{\mathrm{\Delta }}^{\text{3}}k}}}={\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^3\sum _{\text{k}}{\mathrm{\Delta }}^{\text{3}}k\to {\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^3\int d^{\text{3}}k$

$\mathrm{\Delta }k$ sind dicht ~ $\frac{1}{L}\to \underset{}{\overset{}{\int }}$ Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:${\sum }_k\triangleq {\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^3\int d^{\text{3}}k$

Vielteilchenzustände

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?

• N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

$H=\sum _i{H}_i;H_i=\frac{p_i^2}{2m}+V_{Kasten}\left({\overrightarrow{r}}_i\right)$ i: Teilchennummer

$H{\mathrm{\Psi }}_{n,N}\left(\underset{\text{alle Koordinaten}}{\underbrace{\left\{r_i\right\}}}\right)={\epsilon }_{n,N}{\mathrm{\Psi }}_{n,N}\left(\left\{r_i\right\}\right)$ mit Quantenzahln n

-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) ${\epsilon }_{n,N}=\sum _{i=1}^N{\epsilon }_n\left(i\right)$ wobei ${\epsilon }_n\left(i\right)$ die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist Vorläuftig : ${\mathrm{\Psi }}_{n,N}\left(\left\{r_i\right\}\right)={\phi }_{n\left(1\right)}\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{n\left(2\right)}\left({\overrightarrow{r}}_2\right)\dots {\phi }_{n\left(N\right)}\left({\overrightarrow{r}}_N\right)$

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte

${\left|\mathrm{\Psi }(X_1\dots X_i\dots X_j\dots X_N)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }(X_1\dots X_j\dots X_i\dots X_N)\right|}^2$

die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein $X_i=({\overrightarrow{r}}_i,{\overrightarrow{s}}_i)$

Das geht für: $\mathrm{\Psi }(X_1\dots X_j\dots X_i\dots X_N)$

Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch(+) und antisymmetrisch(-) bezeichnet:

Fermionen (-) antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin Bosonen (-) symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))

Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider $T\to \mathrm{\infty }$)

Beispiel:2 Teilchen $i=1,2;n=a,b$ vorläuftig$\mathrm{\Psi }={\phi }_a\left(x_1\right){\phi }_b\left(x_2\right)$ Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch ${\mathrm{\Psi }}^{F/B}=\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_a\left(x_1\right){\phi }_b\left(x_2\right)\mp {\phi }_a\left(x_1\right){\phi }_b\left(x_2\right))$ wobei $\frac{1}{\sqrt{2}}$ der Normierungsfaktor ist.

((3 Teilchen als Übung))

Interpretation:

• In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
• In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)

--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

• allgemin Ansätzte für N-Teilchen

${\mathrm{\Psi }}_B=\frac{1}{\sqrt{\underset{\begin{array}{c}\text{Teilchenzahl}\\ \text{wg Normierung}\end{array}}{\underbrace{N}}!}}\frac{1}{\underset{\begin{array}{cc}& \text{wenn nur die Orbitale }{\phi }_k\\ & k<N\text{ besetzt weil mehrer}\\ & \text{Teilchen in einem Orbital sitzen}\\ & \text{so steht }{\text{N}}_k\text{ f }\ddot{\mathrm{u}}\text{ r die Zahl der}\\ & \text{Teilchen in dem Orbital}\\ \end{array}}{\underbrace{\sqrt{\prod _k^K{N}_k!}}}}\underset{\text{Zumme }\ddot{\mathrm{u}}\text{ ber alle Permutationen}}{\underbrace{\sum _{P}P({\phi }_{n_1}\left(x_1\right)\dots {\phi }_{n_k}\left(x_k\right)\dots {\phi }_{n_N}\left(x_N\right))}}$

${\mathrm{\Psi }}_F=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underset{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }(-1)}{\underbrace{\sum _P\mathrm{sign}\left(P\right)P({\phi }_{n_1}\left(x_1\right)\dots {\phi }_{n_k}\left(x_k\right)\dots {\phi }_{n_N}\left(x_N\right))}}$

recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: