Addition von Drehimpulsen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Kein GFDL

Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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( Vergl. Schwabl)

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

$\hat{\overline{J}}=\hat{\overline{L}}+\hat{\overline{S}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$[{\hat{L}}_j,{\hat{S}}_k]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow [{\hat{J}}_j,{\hat{J}}_k]=[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]+[{\hat{S}}_j,{\hat{S}}_k]\\ & [{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_l\\ & [{\hat{S}}_j,{\hat{S}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{S}}_l\\ & \Rightarrow [{\hat{J}}_j,{\hat{J}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{J}}_l\\ \end{array}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen !

$[{\hat{J}}^2,{\hat{L}}_3]=[{\hat{L}}^2+{\hat{\overline{S}}}^2+2\hat{\overline{L}}\cdot \hat{\overline{S}},{\hat{L}}_3]=2{\hat{\overline{S}}}_j[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_3]=2i\hslash ({\hat{S}}_2{\hat{L}}_1-{\hat{S}}_1{\hat{L}}_2)\ne 0$

Ebenso:

$[{\hat{J}}^2,{\hat{S}}_3]\ne 0$

Also:

Die $2(2l+1)$

Produktzustände $|lm{m}_S⟩=|lm⟩|m_s⟩$

sind Eigenzustände zu ${\hat{L}}^2,{\hat{L}}_3,{\hat{\overline{S}}}^2,{\hat{S}}_3$

aber nicht zu ${\hat{J}}^2$

, da

$[{\hat{J}}^2,{\hat{L}}_3]\ne 0$

bzw. $[{\hat{J}}^2,{\hat{S}}_3]\ne 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${\hat{J}}^2$

, , .

Dies muss möglich sein, da

Die Eigenwertgleichungen lauten:

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand bezüglich des alten Zustandes entwickelt werden:

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch- Gordan- Koeffizienten !

Dabei gilt:

Wobei: