Das Zweikörperproblem
Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.
Idee:
f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung
- 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
- Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung
Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:
So wäre das Problem vollständig gelöst:
Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.
Beispiel: Zweikörperproblem
2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).
Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung
Zahl der Freiheitsgrade: f=6
Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren
Erhaltungssätze
- V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
=konstant
Der Schwerpunkt:
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.
Dies folgt aus:
M:=m1 + m2
Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
- V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
Es sind drei weitere Integrationskonstanten
gefunden.
- Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:
Eine Integrationskonstante E
Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.
Impuls- und Drehimpulserhaltung
Lagrange- Formulierung:
Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:
Relativkoordinate
Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:
Dabei bezeichnet
den Abstand und
die relative Masse
ist zyklische Koordinate:
mit k= x,y,z
Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:
o.B.d.A:
Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung
mit:
Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:
(Rotationsinvarianz)
Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):
Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
liegen in der Ebene senkrecht zu
(Im Schwerpunktsystem).
Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
Somit:
Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
ist zyklische Koordinate:
Hier: l = lz, da lx = ly =0
Also:
Flächensatz: 2. keplersches Gesetz
Geometrische Interpretation von
Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:
Für die Fläche gilt:
Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:
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