Quantentheoretischer Zugang

Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Datei:Particle in a box wavefunctions.svg

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz $\mathrm{\Delta }ϵ$ $V=L^3$ (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. $H=\frac{p^2}{2m}+V_{Kasten}\left(\overrightarrow{r}\right)$ für unendlich hohe Wände Einteilchenfunktion ${\phi }_n\left(\overrightarrow{r}\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_x\pi }{L}x\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_y\pi }{L}y\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_z\pi }{L}z\right)$ mit $\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z);n_i=1,2,...$ und Energieeigenwerten ${\epsilon }_n=\frac{\hslash {\pi }^2}{2m{L}^2}({n_x}^2+{n_y}^2+{n_z}^2)$ Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert ${\phi }_n\left(\overrightarrow{r}\right)=⟨\overrightarrow{r}|n⟩\to |n⟩$(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen ${\phi }_n(x=0,y,z)={\phi }_n(x=L,y,z)\mathrm{\forall }{x}_i$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: $e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}=e^{i\overrightarrow{k}.(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{L})},\overrightarrow{L}=(L,L,L)\\ & \Rightarrow e^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}=1\text{ w }\ddot{\mathrm{a}}\text{ hlen}\\ & \Rightarrow k_i=(k_x,k_y,k_z):k_i=\frac{2\pi }{L}{m}_i,m_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ \end{array}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: $\begin{array}{rl}& {\phi }_{\overrightarrow{k}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}},k_i=\frac{2\pi }{L}{m}_i,m_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ & \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\sum _i{k}_i{x}_i\\ \end{array}$ man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum _{\text{Zust }\ddot{\mathrm{a}}\text{ nde}}...\triangleq \sum _{\text{k }{}^{\prime }\text{ s}}...$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ & \sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...} \\ & \sum\limits_{\text{\vec{k}}\in 3\text{-Dim Raum}}{{}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{\Delta {}^\text{3}k}{\underbrace{\Delta {}^\text{3}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{\Delta {}^\text{3}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{d{}^\text{3}k} \\ \end{align}} $\mathrm{\Delta }k$ sind dicht ~ $\frac{1}{L}\to \underset{}{\overset{}{\int }}$ Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt