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f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})

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MathML (14.273 KB / 2.143 KB) :

f : X Y  affin    g : T M V M , t g ( t ) : ( p , q ) X 2 : f ( p ) f ( q ) = g ( p q t ) : 𝑓 𝑋 𝑌  affin    𝑔 : formulae-sequence subscript 𝑇 𝑀 subscript 𝑉 𝑀 𝑡 𝑔 𝑡 : for-all 𝑝 𝑞 superscript 𝑋 2 : 𝑓 𝑝 𝑓 𝑞 𝑔 subscript 𝑝 𝑞 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow\text{ }% \exists g:{{T}_{M}}\to{{V}_{M}},t\to g\left(t\right):\forall\left(p,q\right)% \in{{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow\text{ }%&#10;\exists g:{{T}_{M}}\to{{V}_{M}},t\to g\left(t\right):\forall\left(p,q\right)%&#10;\in{{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">f</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">:</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">X</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">Y</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.1.1.cmml"></mo>
          <mtext id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6a.cmml"> affin </mtext>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.cmml">
        <mtext id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8a.cmml"> </mtext>
        <mo id="p1.1.m1.1.41.3.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">g</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">:</mo>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.41.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">T</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">M</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml"></mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.41.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">V</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">M</mi>
          </msub>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.41.4.1a.cmml">,</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.3" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">t</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">g</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.4.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.1.cmml">(</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.41.4.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">:</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.5" xref="p1.1.m1.1.41.5.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">p</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml"></mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.41.5.2" xref="p1.1.m1.1.41.5.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">X</mi>
          <mn id="p1.1.m1.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.33.1.cmml">2</mn>
        </msup>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">:</mo>
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        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.35.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.cmml">f</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.35.2.9" xref="p1.1.m1.1.35.2.9.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.10" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.35.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.35.2.3" xref="p1.1.m1.1.35.2.3.cmml">p</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.35.2.4" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.35.2.9a" xref="p1.1.m1.1.35.2.9.cmml"></mo>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.11" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.35.2.7" xref="p1.1.m1.1.35.2.7.cmml">q</mi>
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            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml"></mo>
        </mover>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.41.6.1" xref="p1.1.m1.1.41.6.1.cmml">
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              <munder id="p1.1.m1.1.39.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.cmml">
                <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.39.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.cmml">
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                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.39.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.39.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.2.cmml">q</mi>
                  </mrow>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.39.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.1.cmml"></mo>
                </munder>
                <mi id="p1.1.m1.1.39.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.2.1.cmml">t</mi>
              </munder>
              <mo id="p1.1.m1.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.39.1.cmml"></mo>
            </mover>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">)</mo>
          </mrow>
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          <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">:</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑓</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"></ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑋</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.41.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.2.1">
              <times id="p1.1.m1.1.41.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.2.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑌</ci>
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                <mtext id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"> affin </mtext>
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          </apply>
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            <times id="p1.1.m1.1.41.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.8a.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
              <mtext id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"> </mtext>
            </ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">𝑀</ci>
              </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.1">𝑀</ci>
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