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\sin \left( x \right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2i},\cos (x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}

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\sin \left(x\right)={\frac {{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2i}},\cos(x)={\frac {{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}

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MathML (10.371 KB / 1.522 KB) :

sin ⁡ ( x ) = e x ⁢ i - e - x ⁢ i 2 ⁢ i , cos ⁡ ( x ) = e i ⁢ x + e - i ⁢ x 2 formulae-sequence 𝑥 superscript 𝑒 𝑥 𝑖 superscript 𝑒 𝑥 𝑖 2 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 2 {\displaystyle{\displaystyle\sin\left(x\right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2% i},\cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sin\left(x\right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2%&#10;i},\cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">sin</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1.cmml">x</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml">i</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.6.2.7" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.1.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2.cmml">x</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.3.cmml">i</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">i</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.14.1a.cmml">,</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">cos</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">x</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">=</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
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              <msup id="p1.1.m1.1.13.2.6" xref="p1.1.m1.1.13.2.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml">e</mi>
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                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.cmml">+</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.13.2.7" xref="p1.1.m1.1.13.2.7.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13.2.4" xref="p1.1.m1.1.13.2.4.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.5.1.1.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.13.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.5.1.3.cmml">x</mi>
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              </msup>
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">formulae-sequence</csymbol>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑥</ci>
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            <divide id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4">
                    <times id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.4.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2">𝑥</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2">𝑖</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
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          <eq id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.2">
            <cos id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑥</ci>
          </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.13.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.1.1">𝑖</ci>
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                </apply>
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i},\cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}}</annotation>
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sin⁡(x)=exi−e−xi2i,cos⁡(x)=eix+e−ix2
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>x</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>x</mi><mi>i</mi></mrow></mrow></msup><mo>&#x2212;</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mi>x</mi><mi>i</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>i</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

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