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* Page found: Das d'Alembertsche Prinzip (eq math.1256.113)

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TeX (original user input): 

-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (20 KB / 2.589 KB) :

- ∂ ⁡ V ∂ ⁡ q j = - ∑ i ∇ r → ⁢ i ⁡ V ⁢ ( r ¯ 1 , r ¯ 2 , … , r ¯ N ) ⁢ ∂ ⁡ r ¯ i ∂ ⁡ q j = ∑ i X → i ⁢ ∂ ⁡ r ¯ i ∂ ⁡ q j = Q j 𝑉 subscript 𝑞 𝑗 subscript 𝑖 subscript ∇ → 𝑟 𝑖 𝑉 subscript ¯ 𝑟 1 subscript ¯ 𝑟 2 … subscript ¯ 𝑟 𝑁 subscript ¯ 𝑟 𝑖 subscript 𝑞 𝑗 subscript 𝑖 subscript → 𝑋 𝑖 subscript ¯ 𝑟 𝑖 subscript 𝑞 𝑗 subscript 𝑄 𝑗 {\displaystyle{\displaystyle-\frac{\partial V}{\partial{{q}_{j}}}=-\sum\limits% _{i}{{{\nabla}_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}% }}_{N}})\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}{{% {{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle-\frac{\partial V}{\partial{{q}_{j}}}=-\sum\limits%&#10;_{i}{{{\nabla}_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}%&#10;}}_{N}})\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}{{%&#10;{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">-</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">∂</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">V</mi>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">∂</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.3a" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">⁡</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">q</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">j</mi>
              </msub>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.34.3.1.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">i</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∇</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.1.cmml">→</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">i</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">V</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">(</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mn id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">1</mn>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mn id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">2</mn>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">…</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">N</mi>
              </msub>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.24a" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.2a" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.24.2.4" xref="p1.1.m1.1.24.2.4.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.24.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.2.cmml">r</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.3a" xref="p1.1.m1.1.24.3.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.24.3.4" xref="p1.1.m1.1.24.3.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.3.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.cmml">q</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.3.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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      <mrow id="p1.1.m1.1.34.4" xref="p1.1.m1.1.34.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.4.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.34.4.1a" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">∑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">i</mi>
          </munder>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.4.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.34.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.2.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">X</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">→</mo>
            </mover>
            <mi id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">i</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.30a" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.2a" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.30.2.4" xref="p1.1.m1.1.30.2.4.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.1.cmml">i</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.3" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.30.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.3a" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.30.3.4" xref="p1.1.m1.1.30.3.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.3.2.cmml">q</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.3.1.cmml">j</mi>
                </msub>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">=</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.34.5" xref="p1.1.m1.1.34.5.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">Q</mi>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2.2">𝑉</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.2">𝑞</ci>
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            <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑖</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">∇</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">
                        <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.1">→</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2">𝑟</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">𝑖</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑉</ci>
                </apply>
                <vector id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
                      <ci id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">𝑟</ci>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">1</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">2</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">…</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">
                      <ci id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">𝑁</ci>
                  </apply>
                </vector>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">
                  <divide id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">𝑋</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">𝑖</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝑄</ci>
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−∂V∂qj=−∑i∇r→iV(r¯1,r¯2,...,r¯N)∂r¯i∂qj=∑iX→i∂r¯i∂qj=Qj
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