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* Page found: Die Hamilton-Jacobi-Theorie (eq math.1340.31)

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Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung Eq: math.1989.31

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TeX (original user input):

S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \right]

TeX (checked):

S(q,\alpha ,t)=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[{\frac {q}{2}}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}+{\frac {\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\right]

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (25.296 KB / 3.094 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle S(q,\alpha,t)=m\omega\int{dq}\sqrt{\left(\frac{2% \alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega\left[% \frac{q}{2}\sqrt{\left(\frac{2\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}+\frac% {\alpha}{m{{\omega}^{2}}}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m{{\omega}^{2}}}{2\left|% \alpha\right|}}\right)\right]}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle S(q,\alpha,t)=m\omega\int{dq}\sqrt{\left(\frac{2%&#10;\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega\left[%&#10;\frac{q}{2}\sqrt{\left(\frac{2\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}+\frac%&#10;{\alpha}{m{{\omega}^{2}}}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m{{\omega}^{2}}}{2\left|%&#10;\alpha\right|}}\right)\right]}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">S</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.37.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.37.2.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">q</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">α</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">t</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">m</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.37.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">ω</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.37.3.1.1a" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.37.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.2.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">∫</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1.2.cmml">
                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">q</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msqrt id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.8.cmml">
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                          <mn id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.1.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.3.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.15.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.2.2.cmml">α</mi>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.15.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.1.cmml">m</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.15.2.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.4.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.15.2.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.5.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.15.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.2.cmml">ω</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.15.2.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.3.3.1.cmml">2</mn>
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                        </mrow>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.2.4.cmml">q</mi>
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                      </msup>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.15.2.6" xref="p1.1.m1.1.15.2.8.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </msqrt>
              </mrow>
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          </mstyle>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">α</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.37.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">t</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">=</mo>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.37.4.1" xref="p1.1.m1.1.37.4.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">-</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.37.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.4.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">α</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.37.4.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.4.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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          </mrow>
        </mrow>
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          <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">m</mi>
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          <mo id="p1.1.m1.1.37.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.37.4.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.27a" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">q</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.27.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.cmml">2</mn>
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                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.8.cmml">(</mo>
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                            <mn id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.cmml">2</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.3.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.cmml">α</mi>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.28.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.3.1.cmml">m</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.3.4.cmml">⁢</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.28.2.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.3.5.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.28.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.3.2.cmml">ω</mi>
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                          </mrow>
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                  </mrow>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">α</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.30.3" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.30.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.3.2.cmml">ω</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.30.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.3.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.37.4.2.2.2.2.2.1.cmml">
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                                <mn id="p1.1.m1.1.34.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.2.3.1.cmml">2</mn>
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S (q, α, t) = m ω \int d q \sqrt{(\frac{2 α}{m ω^{2}} - q^{2})} - α t = - α t + m ω [\frac{q}{2} \sqrt{(\frac{2 α}{m ω^{2}} - q^{2})} + \frac{α}{m ω^{2}} \arcsin (q \sqrt{\frac{m ω^{2}}{2 | α |}})]

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