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Display information for equation id:math.1508.7 on revision:1508

* Page found: Lagrangegleichungen 2. Art (eq math.1508.7)

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Lagrangegleichungen 2. Art Eq: math.1508.7

Hash: dcd4b5ba9ab0f6da900842cfd336b484

TeX (original user input):

\begin{align}
  & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
 & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (27.333 KB / 2.787 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}% }_{i}}\frac{\partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{% \partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}% }^{2}\right)\\ &\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}{{{% \vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{% \vec{v}}}_{i}}^{2}\right)\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}%&#10;}_{i}}\frac{\partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{%&#10;\partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}%&#10;}^{2}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}{{{%&#10;\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{%&#10;\vec{v}}}_{i}}^{2}\right)\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">m</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">v</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">→</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.2.cmml">q</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.4.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">v</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">→</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">i</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.2.cmml">q</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
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                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">m</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml">v</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">→</mo>
                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">i</mi>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3.cmml"/>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3.cmml"/>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">2</mn>
                  </mmultiscripts>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">m</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.4.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">v</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">→</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">i</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">m</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  </mmultiscripts>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑚</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3">superscript</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.3">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑚</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.3">subscript</csymbol>
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                </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2">subscript</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3">subscript</csymbol>
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      </matrix>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}%
}_{i}}\frac{\partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{%
\partial}{\partial{{{\dot{q}}}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}%
}^{2}\right)\\
&amp;\displaystyle{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}{{{%
\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial}{\partial{{q}_{j}}}\left(\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{%
\vec{v}}}_{i}}^{2}\right)\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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MathML (3.629 KB / 424 B) :

\begin{aligned} m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} (\frac{1}{2} m_{i} {\vec{v}}_{i}^{2}) \\ m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} (\frac{1}{2} m_{i} {\vec{v}}_{i}^{2}) \end{aligned}

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