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* Page found: Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren (eq math.1632.22)

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\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle  m,\alpha   |  n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle  m,\alpha   |  n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}

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( F n - F m ) ⁢ ⟨ m , α | n , α ⁢ ´ ⟩ = 0 ⇒ ⟨ m , α | n , α ⁢ ´ ⟩ = δ m ⁢ n subscript 𝐹 𝑛 subscript 𝐹 𝑚 inner-product 𝑚 𝛼 𝑛 𝛼 ´ absent 0 ⇒ inner-product 𝑚 𝛼 𝑛 𝛼 ´ absent subscript 𝛿 𝑚 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\left({{F}_{n}}-{{F}_{m}}\right)\left\langle m,% \alpha|n,\alpha\acute{\ }\right\rangle=0\Rightarrow\left\langle m,\alpha|n,% \alpha\acute{\ }\right\rangle={{\delta}_{mn}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left({{F}_{n}}-{{F}_{m}}\right)\left\langle m,%&#10;\alpha|n,\alpha\acute{\ }\right\rangle=0\Rightarrow\left\langle m,\alpha|n,%&#10;\alpha\acute{\ }\right\rangle={{\delta}_{mn}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">F</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">F</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">m</mi>
            </msub>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">m</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.2.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">α</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1.cmml">|</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.3.1.cmml">,</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.3.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">α</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.34.2.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml"/>
                <mo id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">´</mo>
              </mover>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">=</mo>
      <mn id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">0</mn>
      <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">⇒</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">m</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">α</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">|</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.1.cmml">,</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">α</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">´</mo>
            </mover>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">=</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.34.4" xref="p1.1.m1.1.34.4.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">δ</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.33.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.33.1.1" xref="p1.1.m1.1.33.1.1.cmml">m</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.33.1.3" xref="p1.1.m1.1.33.1.3.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.33.1.2" xref="p1.1.m1.1.33.1.2.cmml">n</mi>
        </mrow>
      </msub>
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                <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑚</ci>
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              </list>
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                <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑛</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">𝛼</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.1">´</ci>
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          <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3">
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            <list id="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2">
              <ci id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">𝑚</ci>
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            </list>
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              <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑛</ci>
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                <times id="p1.1.m1.1.34.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝛼</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">
                  <ci id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">´</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝛿</ci>
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              <times id="p1.1.m1.1.33.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.1.3"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.33.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.1.1">𝑚</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.33.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.1.2">𝑛</ci>
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\alpha|n,\alpha\acute{\ }\right\rangle=0\Rightarrow\left\langle m,\alpha|n,%
\alpha\acute{\ }\right\rangle={{\delta}_{mn}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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(Fn−Fm)⟨m,α|n,α´⟩=0⇒⟨m,α|n,α´⟩=δmn
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>F</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>&#x03B1;</mi><mo>|</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>&#x03B1;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&#x21D2;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>&#x03B1;</mi><mo>|</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>&#x03B1;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>&#x03B4;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></mrow></msub></mstyle></mrow></math>

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