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* Page found: Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren (eq math.1632.61)

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\left\langle  \Phi \acute{\ }  |  \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle  \Phi  \right|{{U}^{+}}U\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Phi   |  \Psi  \right\rangle

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⟨ Φ ⁢ ´ | Ψ ⁢ ´ ⟩ := ⟨ Φ | U + ⁢ U | Ψ ⟩ = ⟨ Φ | Ψ ⟩ assign inner-product Φ ´ absent Ψ ´ absent quantum-operator-product Φ superscript 𝑈 𝑈 Ψ inner-product Φ Ψ {\displaystyle{\displaystyle\left\langle\Phi\acute{\ }|\Psi\acute{\ }\right% \rangle:=\left\langle\Phi\right|{{U}^{+}}U\left|\Psi\right\rangle=\left\langle% \Phi|\Psi\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle\Phi\acute{\ }|\Psi\acute{\ }\right%&#10;\rangle:=\left\langle\Phi\right|{{U}^{+}}U\left|\Psi\right\rangle=\left\langle%&#10;\Phi|\Psi\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">´</mo>
          </mover>
        </mrow>
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          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.3.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">´</mo>
          </mover>
        </mrow>
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      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">Φ</mi>
        <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.1.cmml">|</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.25.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.cmml">
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          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">U</mi>
        </mrow>
        <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.1.cmml">|</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">Ψ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
    </mrow>
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                <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">´</ci>
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</math>

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⟨Φ´|Ψ´⟩:=⟨Φ|U+U|Ψ⟩=⟨Φ|Ψ⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mo>|</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mi>:</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><msup><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo>|</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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