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* Page found: Die Quantisierung (eq math.1639.39)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle  \Psi   |  n \right\rangle \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle  n\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle } \\

& \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\

& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}} \\
\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (27.36 KB / 3.175 KB) :

⟨ Ψ | F ^ | Ψ ⟩ = ∑ n , n ⁢ ´ ⟨ Ψ | n ⟩ ⁢ ⟨ n | F ^ | n ⁢ ´ ⟩ ⁢ ⟨ n ⁢ ´ | Ψ ⟩ ⟨ n | F ^ | n ⁢ ´ ⟩ = F n ⁢ δ n ⁢ n ⁢ ´ ⇒ ⟨ Ψ | F ^ | Ψ ⟩ = ∑ n F n ⁢ | ⟨ n | Ψ ⟩ | 2 absent quantum-operator-product Ψ ^ 𝐹 Ψ subscript 𝑛 𝑛 ´ absent inner-product Ψ 𝑛 quantum-operator-product 𝑛 ^ 𝐹 𝑛 ´ absent inner-product 𝑛 ´ absent Ψ absent quantum-operator-product 𝑛 ^ 𝐹 𝑛 ´ absent subscript 𝐹 𝑛 subscript 𝛿 𝑛 𝑛 ´ absent absent ⇒ absent quantum-operator-product Ψ ^ 𝐹 Ψ subscript 𝑛 subscript 𝐹 𝑛 superscript inner-product 𝑛 Ψ 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left\langle\Psi% \right|\hat{F}\left|\Psi\right\rangle=\sum\limits_{n,n\acute{\ }}{\left\langle% \Psi|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{F}\left|n\acute{\ }\right\rangle% \left\langle n\acute{\ }|\Psi\right\rangle}\\ \par&\displaystyle\left\langle n\right|\hat{F}\left|n\acute{\ }\right\rangle={% {F}_{n}}{{\delta}_{nn\acute{\ }}}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow\left\langle\Psi\right|\hat{F}\left|\Psi\right% \rangle=\sum\limits_{n}{{{F}_{n}}{{\left|\left\langle n|\Psi\right\rangle% \right|}^{2}}}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle\Psi%&#10;\right|\hat{F}\left|\Psi\right\rangle=\sum\limits_{n,n\acute{\ }}{\left\langle%&#10;\Psi|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{F}\left|n\acute{\ }\right\rangle%&#10;\left\langle n\acute{\ }|\Psi\right\rangle}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\left\langle n\right|\hat{F}\left|n\acute{\ }\right\rangle={%&#10;{F}_{n}}{{\delta}_{nn\acute{\ }}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\left\langle\Psi\right|\hat{F}\left|\Psi\right%&#10;\rangle=\sum\limits_{n}{{{F}_{n}}{{\left|\left\langle n|\Psi\right\rangle%&#10;\right|}^{2}}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">Ψ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">F</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.5.cmml">,</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.3.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.2.cmml"/>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.1.cmml">´</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">Ψ</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">n</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">F</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">n</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">F</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">´</mo>
                </mover>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">F</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">n</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">δ</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.2.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.2.cmml"/>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.1.cmml">´</mo>
                  </mover>
                </mrow>
              </msub>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">Ψ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">F</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">n</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">F</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml">n</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">n</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">Ψ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                  </mrow>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">quantum-operator-product</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">Ψ</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2">𝐹</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">Ψ</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
                <list id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1">𝑛</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.6.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.3">𝑛</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.1">´</ci>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.4.2">absent</csymbol>
                    </apply>
                  </apply>
                </list>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2">
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">inner-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">Ψ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">quantum-operator-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">𝑛</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">^</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">𝐹</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑛</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1">´</ci>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2">absent</csymbol>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">inner-product</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">𝑛</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1">´</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">Ψ</ci>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">quantum-operator-product</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">^</ci>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">absent</csymbol>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝐹</ci>
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              </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">𝛿</ci>
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                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.2">absent</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23">absent</csymbol>
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\end{aligned}}}</annotation>
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⟨Ψ|F^|Ψ⟩=∑n,n´⟨Ψ|n⟩⟨n|F^|n´⟩⟨n´|Ψ⟩⟨n|F^|n´⟩=Fnδnn´⇒⟨Ψ|F^|Ψ⟩=∑nFn|⟨n|Ψ⟩|2
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