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* Page found: Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild (eq math.1649.12)

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\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (15.032 KB / 2.095 KB) :

d d ⁢ t ⁢ ⟨ F ^ ⟩ = d d ⁢ t ⁢ ⟨ Ψ | t ⁢ F ^ ⁢ | Ψ ⟩ t = ⟨ Ψ | t ⁢ ∂ ⁡ F ^ ∂ ⁡ t + i ℏ ⁢ [ H ^ , F ^ ] ⁢ | Ψ ⟩ t 𝑑 𝑑 𝑡 delimited-⟨⟩ ^ 𝐹 𝑑 𝑑 𝑡 subscript bra Ψ 𝑡 ^ 𝐹 subscript ket Ψ 𝑡 subscript bra Ψ 𝑡 ^ 𝐹 𝑡 𝑖 Planck-constant-over-2-pi ^ 𝐻 ^ 𝐹 subscript ket Ψ 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}\left\langle{\hat{F}}\right\rangle=% \frac{d}{dt}{{\left\langle\Psi\right|}_{t}}\hat{F}{{\left|\Psi\right\rangle}_{% t}}={{\left\langle\Psi\right|}_{t}}\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{i}% {\hbar}\left[\hat{H},\hat{F}\right]{{\left|\Psi\right\rangle}_{t}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}\left\langle{\hat{F}}\right\rangle=%&#10;\frac{d}{dt}{{\left\langle\Psi\right|}_{t}}\hat{F}{{\left|\Psi\right\rangle}_{%&#10;t}}={{\left\langle\Psi\right|}_{t}}\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{i}%&#10;{\hbar}\left[\hat{H},\hat{F}\right]{{\left|\Psi\right\rangle}_{t}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">F</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.33.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.33.3" xref="p1.1.m1.1.33.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">d</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">d</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.33.3.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.1.cmml">⁢</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.33.3.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.33.3.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">Ψ</mi>
            <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.33.3.2.2.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
          <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">t</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.33.3.1a" xref="p1.1.m1.1.33.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">F</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.33.3.1b" xref="p1.1.m1.1.33.3.1.cmml">⁢</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.33.3.3" xref="p1.1.m1.1.33.3.3.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.3.2.1.cmml">
            <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.33.3.3.2.1.1.cmml">|</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">Ψ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.33.3.3.2.1.1.cmml">⟩</mo>
          </mrow>
          <mi id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">t</mi>
        </msub>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.33.4" xref="p1.1.m1.1.33.4.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.33.4.1" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.33.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.33.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">Ψ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">t</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.33.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.33.4.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.21.2a" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">⁡</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.cmml">F</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.1.cmml">^</mo>
                </mover>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.cmml">∂</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.cmml">t</mi>
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            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.23a" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">i</mi>
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            </mfrac>
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          <mo id="p1.1.m1.1.33.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.2.1.cmml">[</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">H</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.2.1.cmml">,</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">F</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.2.1.cmml">]</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.33.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.33.4.2.3.2.1.1.cmml">⟩</mo>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1">𝑑</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">Ψ</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">Ψ</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1">𝑡</ci>
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t}}={{\left\langle\Psi\right|}_{t}}\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{i}%
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d d t ⟨ F ^ ⟩ = d d t ⟨ Ψ | t F ^ | Ψ ⟩ t = ⟨ Ψ | t ∂ F ^ ∂ t + i ℏ [ H ^ , F ^ ] | Ψ ⟩ t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}} 
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SVG (12.457 KB / 4.563 KB) :

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}

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