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\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle

TeX (checked): 

{\hat {H}}\left|0\right\rangle =\hbar \omega \left({{a}^{+}}a+{\frac {1}{2}}\right)\left|0\right\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \omega \left|0\right\rangle

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H ^ ⁢ | 0 ⟩ = ℏ ⁢ ω ⁢ ( a + ⁢ a + 1 2 ) ⁢ | 0 ⟩ = 1 2 ⁢ ℏ ⁢ ω ⁢ | 0 ⟩ ^ 𝐻 ket 0 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 superscript 𝑎 𝑎 1 2 ket 0 1 2 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 ket 0 {\displaystyle{\displaystyle\hat{H}\left|0\right\rangle=\hbar\omega\left({{a}^% {+}}a+\frac{1}{2}\right)\left|0\right\rangle=\frac{1}{2}\hbar\omega\left|0% \right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\hat{H}\left|0\right\rangle=\hbar\omega\left({{a}^%&#10;{+}}a+\frac{1}{2}\right)\left|0\right\rangle=\frac{1}{2}\hbar\omega\left|0%&#10;\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">⁢</mo>
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          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.1.cmml">|</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">0</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">ℏ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.25.3.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">ω</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.25.3.1a" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">a</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">+</mo>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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              <mfrac id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
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              </mfrac>
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        </mrow>
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          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.25.3.3.1.1.cmml">|</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">0</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.25.3.3.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.19a" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.19.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
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        <mo id="p1.1.m1.1.25.4.1a" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.cmml">⁢</mo>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.25.4.2" xref="p1.1.m1.1.25.4.2.1.cmml">
          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.25.4.2.1.1.cmml">|</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">0</mn>
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        </mrow>
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          <eq id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/>
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          <apply id="p1.1.m1.1.25.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4">
            <times id="p1.1.m1.1.25.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">
              <divide id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2">1</cn>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3">2</cn>
            </apply>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.25.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">ket</csymbol>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">0</cn>
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{+}}a+\frac{1}{2}\right)\left|0\right\rangle=\frac{1}{2}\hbar\omega\left|0%
\right\rangle}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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H^|0⟩=ℏω(a+a+12)|0⟩=12ℏω|0⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mi>a</mi><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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  • H^
  • ω
  • a
  • a
  • ω

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