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\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle

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H ^ ⁢ ( a + ) n ⁢ | 0 ⟩ = ℏ ⁢ ω ⁢ ( n + 1 2 ) ⁢ ( a + ) n ⁢ | 0 ⟩ ^ 𝐻 superscript superscript 𝑎 𝑛 ket 0 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 𝑛 1 2 superscript superscript 𝑎 𝑛 ket 0 {\displaystyle{\displaystyle\hat{H}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right% \rangle=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}% \left|0\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\hat{H}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right%&#10;\rangle=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}%&#10;\left|0\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.cmml">⁢</mo>
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            <msup id="p1.1.m1.1.26.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">+</mo>
            </msup>
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          </mrow>
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          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.26.1.3.1.1.cmml">|</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.26.1.3.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
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        </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.26.2.3.2.2.cmml">)</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.26.2.4.1.1.cmml">⟩</mo>
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\left|0\right\rangle}}</annotation>
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</math>

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H^(a+)n|0⟩=ℏω(n+12)(a+)n|0⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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