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\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0  |  0 \right\rangle =n!

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⇒ ⟨ 0 | a n ⁢ ( a + ) n ⁢ a | 0 ⟩ = n ! ⁢ ⟨ 0 | 0 ⟩ = n ! ⇒ absent quantum-operator-product 0 superscript 𝑎 𝑛 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 0 𝑛 inner-product 0 0 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({% {a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle=n!\left\langle 0|0\right\rangle=n!}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({%&#10;{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle=n!\left\langle 0|0\right\rangle=n!}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml"/>
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">⇒</mo>
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          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle=n!\left\langle 0|0\right\rangle=n!}}</annotation>
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⇒⟨0|an(a+)na|0⟩=n!⟨0|0⟩=n!
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo>&#x21D2;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msup><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>!</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mn>0</mn><mo>|</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>!</mi></mstyle></mrow></math>

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