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\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0  |  0 \right\rangle =n!

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⇒ ⟨ 0 | a n ⁢ ( a + ) n ⁢ a | 0 ⟩ = n ! ⁢ ⟨ 0 | 0 ⟩ = n ! ⇒ absent quantum-operator-product 0 superscript 𝑎 𝑛 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 0 𝑛 inner-product 0 0 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({% {a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle=n!\left\langle 0|0\right\rangle=n!}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({%&#10;{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle=n!\left\langle 0|0\right\rangle=n!}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml"/>
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">⇒</mo>
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          <msup id="p1.1.m1.1.27.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.2.cmml">
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          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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      </mrow>
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⇒ ⟨ 0 | a n ( a + ) n a | 0 ⟩ = n ! ⟨ 0 | 0 ⟩ = n ! {\displaystyle \Rightarrow \left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle =n!\left\langle 0|0\right\rangle =n!} 
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{\displaystyle \Rightarrow \left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a\left|0\right\rangle =n!\left\langle 0|0\right\rangle =n!}

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