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\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle

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H ^ ⁢ | n ⟩ = ℏ ⁢ ω ⁢ ( a + ⁢ a + 1 2 ) ⁢ | n ⟩ = ℏ ⁢ ω ⁢ ( n + 1 2 ) ⁢ | n ⟩ ^ 𝐻 ket 𝑛 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 superscript 𝑎 𝑎 1 2 ket 𝑛 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 𝑛 1 2 ket 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\hat{H}\left|n\right\rangle=\hbar\omega\left({{a}^% {+}}a+\frac{1}{2}\right)\left|n\right\rangle=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}% \right)\left|n\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\hat{H}\left|n\right\rangle=\hbar\omega\left({{a}^%&#10;{+}}a+\frac{1}{2}\right)\left|n\right\rangle=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}%&#10;\right)\left|n\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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      <mrow id="p1.1.m1.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.cmml">
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.29.2.1" xref="p1.1.m1.1.29.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.29.2.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.1.cmml">
          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.1.1.cmml">|</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
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        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">ℏ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.29.3.1" xref="p1.1.m1.1.29.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">ω</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.29.3.1a" xref="p1.1.m1.1.29.3.1.cmml">⁢</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.2.cmml">(</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">a</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">+</mo>
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          <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">n</mi>
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        </mrow>
      </mrow>
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H^|n⟩=ℏω(a+a+12)|n⟩=ℏω(n+12)|n⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><mi>a</mi><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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