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\left\langle  {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )

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⟨ r ¯ ^ | n ⁢ l ⁢ m ⟩ = Ψ n ⁢ l ⁢ m = Ψ ⁢ ( r , ϑ , ϕ ) = R n ⁢ l ⁢ ( r ) ⁢ Y l m ⁢ ( ϑ , ϕ ) inner-product ^ ¯ 𝑟 𝑛 𝑙 𝑚 subscript Ψ 𝑛 𝑙 𝑚 Ψ 𝑟 italic-ϑ italic-ϕ subscript 𝑅 𝑛 𝑙 𝑟 superscript subscript 𝑌 𝑙 𝑚 italic-ϑ italic-ϕ {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{\bar{r}}}|nlm\right\rangle={{% \Psi}_{nlm}}=\Psi(r,\vartheta,\phi)={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta,\phi)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{\bar{r}}}|nlm\right\rangle={{%&#10;\Psi}_{nlm}}=\Psi(r,\vartheta,\phi)={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta,\phi)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.cmml">|</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">l</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">m</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">Ψ</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.10.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.4.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">l</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.10.1.4a" xref="p1.1.m1.1.10.1.4.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">m</mi>
        </mrow>
      </msub>
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        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">Ψ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.34.4.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.4.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ϑ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">ϕ</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">=</mo>
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        <msub id="p1.1.m1.1.34.5.2" xref="p1.1.m1.1.34.5.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">R</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">n</mi>
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          </mrow>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.34.5.1" xref="p1.1.m1.1.34.5.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.5.3" xref="p1.1.m1.1.34.5.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.34.5.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">r</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.34.5.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.34.5.1a" xref="p1.1.m1.1.34.5.1.cmml">⁢</mo>
        <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.34.5.4" xref="p1.1.m1.1.34.5.4.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">Y</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">l</mi>
          <none id="p1.1.m1.1.34.5.4a" xref="p1.1.m1.1.34.5.4.cmml"/>
          <none id="p1.1.m1.1.34.5.4b" xref="p1.1.m1.1.34.5.4.cmml"/>
          <mi id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">m</mi>
        </mmultiscripts>
        <mo id="p1.1.m1.1.34.5.1b" xref="p1.1.m1.1.34.5.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.5.5" xref="p1.1.m1.1.34.5.5.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.34.5.5.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">ϑ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.34.5.5.1.cmml">,</mo>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑛</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑙</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑚</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">italic-ϑ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">italic-ϕ</ci>
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        </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.22.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.1">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.2">𝑙</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.5.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.5.4">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑌</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1">𝑙</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1">𝑚</ci>
            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">italic-ϑ</ci>
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            </interval>
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</math>

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⟨r¯^|nlm⟩=Ψnlm=Ψ(r,ϑ,ϕ)=Rnl(r)Ylm(ϑ,ϕ)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>|</mo><mi>n</mi><mi>l</mi><mi>m</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo>,</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mi>l</mi></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo stretchy="false">)</mo><msup><msub><mi>Y</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo>,</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo stretchy="false">)</mo></mstyle></mrow></math>

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